Изчисленията в матрицата на Mathcad 12 трябва да се използват
трябва да се използва матрица. С помощта на Matlicad тази много времеемка и понякога много сложна задача може да бъде изключително опростена.
Операторът за намиране на обратната матрица (Inverse) се въвежда чрез специалния бутон на панела Matrix (Матрица). Можете обаче да го направите без достъп до работния панел: просто изберете матрицата и я повдигнете на степен -1 по абсолютно същия начин като числата или изразите.
Можете да намерите обратната матрица както за матрици с числови елементи, така и за матрици, чиито елементи са дефинирани символно.
Пример 3.24. Изчисляване на обратната матрица
smlaj -cosVaJl ( sin(a) cos(a)^
cos(a,/ sm(a^ J l^-cos^) sin(a)J
Обърнете внимание, че операторът за опростяване съответно е опростил елементите на обратната матрица. Не бива обаче да забравяме, че символният процесор Mathcad може правилно да конвертира само най-простите тригонометрични изрази.
За да намери матрицата, обратна на A, Mathcad използва числен метод, базиран на решаване на системи от линейни уравнения. Наистина, за да се намери обратната матрица, е необходимо всъщност да се реши матрично уравнение от формата A'X-E. За да изчисли X-At, Mathcad последователно търси корените на системите от уравнения AX-Ei (І - 1,2. N е размерността на матрицата), където E1 е і-тата колона на матрицата за идентичност или матрицата за пермутация (ако е необходимо). Векторът на решение X1 на всяка система не е нищо друго освен i-тата колона на обратната матрица. Заедно те формират крайния резултат. Моля, обърнете внимание, че за да намерите колоните на обратната матрица, трябва да решите една и съща система от уравнения с различни вектори от дясната страна. За да се опрости тази процедура, се извършва LU декомпозиция, тъй като алгоритъмът, използван в този случай, консумираима по-малко стъпки за намиране на решение от метода на Гаус. Работата му се основава на следните операции.
1. След извършване на W-разширението представяме оригиналната система от уравнения като LUXj1=Ei.
2. Приемайки, че UXi-Yjl намираме решения Yi на долните триъгълни системи LYi-E1 чрез директно заместване.
3. Използвайки метода на обратното заместване, търсим решения X1 на горните триъгълни системи UX=Y1, които ни интересуват,
4. Комбинирайте получените вектори X1 в крайната матрица A-1.
В допълнение към метода, описан по-горе, можете да намерите обратната матрица в Mathcad, като използвате вградената функция geninv (M). За матрици, чиято детерминанта е близка до нула, алгоритъмът, използващ LU декомпозицията, може да не се сближи. С помощта на функцията geniriv(M) може да се получи матрица, обратна на всяка почти сингулярна матрица.Въпреки това, точността на такива решения оставя много да се желае. В останалите случаи използването на функцията geninv(M) и оператора Inverse на панела Matrix е абсолютно идентично. 3.2. Елементарни матрични изчисления -:-119
3.2.10. Сума от векторни елементи
В някои случаи трябва да намерите сумата от елементите на вектора. За да направите това, в Mathcad има специален оператор Vector Sum (Векторна сума), който се намира на панела Matrix (Matrix). Може да се въведе и чрез клавишната комбинация Ctrl+4.
Понякога става необходимо да се сумират елементите по главния диагонал на квадратна матрица. Такава сума се нарича следа на матрицата. За да го изчисли, Mathcad има специална функция tr(M>, където M е матрица.
Пример 3.25. Сума от векторни елементи и матрична следа
3.2.11. Матрично степенуване и матрични уравнения
Системата Machcad ви позволява да извършвате операциите за повдигане на матрица на степен. Ако матрицатана квадрат, то може да бъде повдигнато на степен n, където и е всяко цяло число (или 0). при което:
? ако n-0, тогава (по аналогия с традиционната алгебра) Mn=E1, където E е единичната матрица;
? ако n=1, тогава M1 =M (матрицата, повдигната на първа степен, е равна на себе си);
? ако n=>f, където N е всяко естествено число, равно или по-голямо от 2, тогава степента на матрица се дефинира като произведението на съответния брой матрици на първа степен. Такова произведение е възможно, защото, когато се умножат, две квадратни матрици с еднаква размерност дават трета със същата размерност;
? ако n=-1, то M'1 е матрицата, обратна на дадената;
? ако n=R, където R е всяко отрицателно цяло число, по-малко или равно на -2, тогава подобно на повдигането на положителна степен, Mr се дефинира като произведение на желания брой обратни матрици.
Мощността на матрицата се определя по същия начин, както в случаите с числа или изрази: или с помощта на бутона Raiseto Power (Повишаване до степен) на работния панел на калкулатора (Калкулатор), или чрез натискане на Shift + b (първо трябва да се избере матрицата).
Пример 3.26. Матрично степенуване
Ґ1 0 (Л 4 (\ 0 0 0 2 0 = 0 16 0 chO 0 z; chO 0 SI
5I -5 '-71.222 24.889 17 ^ 8 = 11.202 -54.695 49.778 8; h 37,905 30,49 -54,222)
От голямо значение в линейната алгебра и особено в теорията на оптимизацията са така наречените матрични уравнения. Можете да ги решите много просто с помощта на блока Given-Find. Подробности за използването на този блок са описани в гл. 8. Предишна 57 58 59 60 61 62 .. 225 >> Следващия