Изоморфизми и хомоморфизми
Заглавие на работата: Изоморфизми и хомоморфизми
Предметна област: Математика и смятане
Описание: Спомнете си, че преобразуването се нарича инъективно, ако взема отделни елементи от X до различни елементи на Y, и сюръективно, ако неговият образ съвпада с цялото Y. Например, естествен хомоморфизъм на група върху подгрупа е сюръективен. От определението непосредствено следва, че хомоморфизъм.
Дата на добавяне: 2014-09-12
Размер на файла: 290 KB
Работата е изтеглена от: 4 човека.
Изоморфизми и хомоморфизми
Нека и са две групи и някои преобразуване. се нарича изоморфизъм, а групите и са изоморфни (от същия тип), ако
1. - едно към едно и
Изоморфизмът на групи и се означава със символа .
Ако е изпълнено само условие 2., тогава преобразуването се нарича хомоморфизъм (подобие).
1. Нека групите и са дадени от таблиците за умножение:
Преобразуването е изоморфизъм. (При всеки изоморфизъм обозначенията на елементите просто се променят. „Вътрешната структура“ на групата остава непроменена).
2. Нека = Z (група от цели числа с операция събиране), - група от предишния пример. Нека поставим: (2n)=p; (2n+1)=q.
3. Нека H е нормална подгрупа на G и G/H съответната фактор група. Спомнете си, че неговите елементи са всички възможни класове x*H, където . Нека дефинираме преобразуването по формулата: (x)=x*H. Тъй като класовете се умножават по формулата (x*H)*(y*H)= (x*y)*H, картографирането е хомоморфизъм. Нарича се естествен хомоморфизъм на група върху факторгрупа.
Най-простите свойства на груповите хомоморфизми.
Нека е хомоморфизъм. Тогава:
Ако е подгрупа, тогава е подгрупа на .
Ако е (нормална) подгрупа, тогава е (нормална) подгрупа на .
Нека е всеки елемент. Тогава и дознак на неутрален елемент.
Ние имаме: . На базата на обратния елемент получаваме: .
Приложете знака на подгрупата:
Нека е подгрупа. - елементи от , тоест и са включени в K. Тогава и следователно. Такава е и подгрупата. Нека сега K е нормална подгрупа и произволен елемент. Тогава означава. По същия начин,. Тъй като , Тогава и , Това е, подгрупата е нормално в .
Образът на нормална подгрупа не винаги е нормален.
От доказаната теорема следва, по-специално, че за всеки хомоморфизъм подгрупа в . Нарича се образ на хомоморфизма и се означава с Im . По същия начин е подгрупа в и е нормално, тъй като тривиалната подгрупа е нормална във всяка група. Нарича се ядрото на хомоморфизма и се означава с Ker.
Инъективни и сюрективни хомоморфизми.
Спомнете си, че преобразуването се нарича инъективно, ако взема отделни елементи от X до различни елементи от Y, и сюръективно, ако неговият образ съвпада с цялото Y. Например, естественият хомоморфизъм на група върху подгрупа е сюръективен. От дефиницията непосредствено следва, че хомоморфизмът е сюръективен тогава и само ако Im .
Критерий за инективност на групов хомоморфизъм
Груповият хомоморфизъм е инективен тогава и само ако Ker = <>.
Тъй като , и означава, че инжективно не може да има други елементи в ядрото и следователно Ker =. Обратно, нека ядрото се състои само от неутрален елемент и x и y са два елемента, така че . Тогава и означава и следователно е равно на . От тук получаваме x=y и инжективно.
Ако Ker = , то се преобразува изоморфно върху подгрупата Im .
Всяка крайна група от ред n е изоморфна на подгрупа от пермутационна група от n елемента.
Нека G=<> е група от ред n. Нека направим маса на Кейли за него. i-тият ред на тази таблица съдържа елементите, които се различават от първоначалния набор от елементи на групата само по реда си. Означете получената пермутация. Нека дефинираме картографирането с формулата. Както знаем, продукт на елементи от група G съответства на композиция от пермутации, т.е. -хомоморфизъм. Ако, тогава, по-специално, и означава. По този начин Ker е тривиален и дефинира изоморфизъм между G и Im в .
Теорема за хомоморфизъм за групи
Нека е сюрективен хомоморфизъм. Тогава фактор групата е изоморфна. Ако тези изоморфни групи бъдат идентифицирани, тогава това се превръща в естествен хомоморфизъм.
Означаваме H=ker . Ние дефинираме картографирането по следния начин
. Нека C е произволен елемент, т.е. някакъв класиран клас на група по отношение на нейната подгрупа H. Вземете всеки . Тогава не зависи от избора на елемента x. Наистина, ако има друг елемент, тогава y=x*h, където и означава . Да поставим: . Използвайки правилото за умножение на смежните класове, получаваме: Ф((x*H)*(y*H)) =Ф((x*y)*H)= = Ф(x*H)Ф(y*H), т.е. построеното преобразуване е хомоморфизъм. Ако някой елемент, тогава тъй като surjectively, има такъв, че . Но тогава Ф(x*H)=. Така че F е сюрективно. Ако Ф(x*H)= , то Ф(x)= , и следователно x*H=H= . Това доказва, че Ker Φ=e и следователно Φ е инективен и следователно е изоморфизъм. Тъй като (x) = Φ(x*H), виждаме, че ако считаме, че изоморфизмът Φ е картографирането на идентичността (тоест, за да идентифицираме и G/H), картографирането съвпада с естествения хомоморфизъм, вземащ x към x*H.
Всеки хомоморфизъм дефинира изоморфизъм между факторгрупата и подгрупата Im.
Нека = с операцията умножение. Нека дефинираме хомоморфизъм ), като присвоим числото 1 на всяка четна пермутация и числото (-1) на нечетната пермутация. Тогава Ker е подгрупа от четни пермутации. Очевидно за n>1 това е сюрективно. По теоремата за хомоморфизъм-нормална подгрупа в и .
Преобразуването (А)=det(A) е сюръективен хомоморфизъм на групата GL(n, R ) на всички неособени матрици от ред n в групата на ненулевите числа с операция умножение. Освен това Ker = SL(n, R ) е подгрупа от матрици с детерминанта 1. Следователно тази подгрупа е нормална и GL(n, R ) /SL(n, R ) .