Изпъкнали функции
Съдържание
Дефиниции [редактиране]
Ще разгледаме сегмента [math][a; b][/math] , набор от числа [math]x_1, x_2, x_3, \ldots x_n \in [a; b][/math] и коефициенти [math]\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \ge 0[/math], така че [math]\sum\limits_^n \alpha_i = 1[/math] .
| Определение: |
| Изпъкналата числова комбинация [math]x_k[/math] е [math]\bar x = \sum\limits_^n \alpha_kx_k[/math] |
Специален случай - [math]\alpha_k = \frac1n[/math] . В този случай [math]\bar x[/math] е средноаритметичната стойност.
Нека означим [math]x_* = \min \[/math] и [math]x^* = \max \[/math] . Тогава [math]x_* \leq \bar x \leq x^*[/math] и тъй като [math]x_* \in [a; b][/math] и [math]x^* \in [a; b]$, след това $\bar x \in [a; b][/math] .
В този смисъл сегментът е изпъкнало множество, тъй като съдържа изпъкнала комбинация от което и да е от неговите числа.
(дефиниция на тип) Изпъкнал набор, заедно с чифт точки, съдържа сегмент, който ги свързва.
| Определение: |
| Нека функцията [math]f(x)[/math] е дефинирана на [math][a; b][/math] . Тогава той е изпъкнал нагоре на този сегмент, ако |
[математика]\за всички x_1, x_2 \in [a; b] \forall \alpha \in [0; 1] \quad \alpha f(x_1) + (1 - \alpha) f(x_2) \leq f(\alpha x_1 + (1 - \alpha)x_2)[/math] .
Ако през цялото време неравенството е противоположно, тогава функцията се нарича изпъкнала надолу.
Според казаното за изпъкналата комбинация дефиницията е правилна: [math]\alpha x_1 + (1 - \alpha)x_2 \in [a; b][/math] .
Геометричният смисъл на този факт е, че за изпъкнала нагоре функция нейната графика ще лежи над хордата.
Забележка: ако [math]f(x)[/math] е изпъкнал надолу, тогава[math]-f(x)[/math] е изпъкнал нагоре.
Неравенството на Йенсен[редактиране]
| Теорема (неравенство на Йенсен): |
| Доказателство: |
| [math]\triangleright[/math] |
Нека го докажем чрез индукция. Основа: [math]n = 2[/math] . Неравенството се превръща в дефиниция на изпъкнала нагоре функция, за която това очевидно важи. Преход. Нека това е вярно за [math]n[/math] . Нека докажем, че това е вярно за [math]n + 1[/math] : [math]\sum\limits_^ \alpha_k = 1[/math] , обозначено с [math]s_n = \sum\limits_^n \alpha_k[/math] Нека [math]\beta_k = \frac[/math] . Тогава получаваме: [math]\sum\limits_^ \beta_k = 1[/math] . [math] \sum\limits_^ \alpha_k f(x_k) = s_n \sum\limits_^n \beta_k f(x_k) + \alpha_f(x_) \leq[/math] (по хипотезата на индукция) [math] s_n f\left(\sum\limits_^n \beta_k x_k \right) + \alpha_f(x_) \leq [/ math] ]s_n + \alpha_ = 1[/math] ) [math] f\left(\sum\limits_^ \alpha_k x_k\right)[/math] Следователно стъпката на индукция е завършена, неравенството е доказано за произволно [math]n[/math] . |
| [math]\triangleleft[/math] |
Връзка между изпъкналост и диференцируемост[редактиране]
Нека приложим линейна интерполация (в случай на [math]2[/math] възли), за да открием връзката между изпъкналостта и диференцируемостта на [math]f[/math] . Ще приемем, че [math]f[/math] е диференцируем толкова пъти, колкото са ни необходими. Наличие на [math]2[/math] възел на [math]\langle a; b\rangle[/math] и [math]y_0 = f(x_0)[/math], [math]y_1 = f(x_1)[/math], съставяме [math]L_n(x)[/math]:
[math]L_n(x) = y_0 \frac + y_1\frac[/math] е права, минаваща през точките [math](x_0, y_0)[/math] и [math](x_1, y_1)[/math] . Така че между [math]x_0[/math] и[math]x_1[/math] получаваме хорда, свързваща две точки от графиката.
Във въпроса за изпъкналостта трябва да проверите знака на такава разлика: [math]f(x) - L_n(x) = \frac(c_x)>(x - x_0)(x - x_1)[/math] , [math]x_0 \leq x \leq x_1[/math] .
Ако [math]f^ \leq 0[/math] върху [math]\langle a; b\rangle[/math] тогава дясната страна ще бъде неотрицателна, защото [math]x \in [x_0; x_1][/math] , така че [math]f(x) - L_n(x) \geq 0[/math] и тъй като [math]x_0[/math] и [math]x_1[/math] са произволни, тогава [math]f[/math] е изпъкнал нагоре.
Така че [math]f^ \leq 0 \Rightarrow f [/math] е изпъкнал нагоре.
Нека [math]f[/math] е изпъкнал нагоре. Предполагаме, че [math]f^[/math] е непрекъснат. [math]x \in \langle a; b\rangle[/math] .
Нека [math]x_0 = x - \Delta x[/math] , [math]x_1 = x + \Delta x[/math] , където [math]\Delta x[/math] е малко положително число. Разгледайте полинома на Лагранж [math]L_n[/math] за възловата система [math](x_0, x_1)[/math] :
[math]f(t) - L_n(t) = \frac(c_t)> (t - x_0)(t - x_1) \geq 0, \, (t - x_0)(t - x_1) \lt 0 \Rightarrow f^(c_t) \leq 0[/math]
[math]c_t \in \langle x - \Delta x; x + \Делта x \rangle[/math]
[math]\Делта x \to 0 : c_t \to x : f^(x) \leq 0[/math]
Така че, ако [math]f[/math] е изпъкнал нагоре, тогава [math]f^ \leq 0[/math] .
Пример[редактиране]
Като пример, разгледайте [math]y = \ln x[/math], [math]y'' = \frac \leq 0 \Rightarrow \ln x[/math] е изпъкнал нагоре. Ще приложим това в следващия параграф.