Изследване на функции, използващи втората производна
Определение 1
се нарича изпъкнал надолу (изпъкнал) на интервала ( a , b ), ако му
графиката лежи над тангентата, начертана във всяка точка x 0 ( a , b ) (фиг.14 a).
Определение 2
се нарича изпъкнал нагоре (вдлъбнат) на интервала ( a , b ), ако неговият
графиката лежи под тангентата, начертана във всяка точка x 0 ( a , b ) (фиг. 14 b).
интервал ( a , b ) и секундата
производна f '' ( x ) > 0 за всички стойности
изпъкнал надолу в пролуката
Доказателство
1) Вземете произволна точка x 0 (a, b). Уравнението на допирателната към графиката на функцията
на този етап изглежда така:
y = f ( x 0 ) + f′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) .
Нека покажем, че във всяка точка x ( a , b ) графиката на функцията се намира над тази допирателна.
Да разгледаме всяка точка x ( a , b ), удовлетворяваща условието x > x 0 и изчислете разликата между ординатите на функцията ( f ( x )) и тангенса ( y ) в тази точка:
f ( x ) − y = f ( x ) − ( f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 )) = ( f ( x ) − f ( x 0 )) − f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) .
Тъй като функцията f ( x ) удовлетворява условията на теоремата на Лагранж за интервала ( x 0 , x ), тогава има точка c 1 ( x 0 , x ), за която равенството
f ( x ) − f ( x 0 ) = f ′ ( c 1 ) ( x − x 0 ) .
Като се има предвид това, разликата между ординатите на функцията и допирателната в точката x може да бъде представена като
f ( x ) − y = f ′ ( c 1 ) ( x − x 0 ) − f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) = ( f ′ ( c 1 ) − f ′ ( x 0 )) ( x − x 0 ) .
Производната f ′ ( x ) удовлетворява условията на теоремата на Лагранж за интервала ( x 0 , c 1 ) . Следователно, има точка c 2 ( x 0 , c 1 ), за която равенството
f′ ( c 1) − f ′ ( x 0 ) = f ′′ ( c 1 ) ( c 1 − x 0 ) .
Като вземем това предвид, разликата между ординатите на функцията и допирателната в точката x може да бъде записана като f ( x ) − y = f ′′ ( c 2 ) ( c 1 − x 0 ) ( x − x 0 ) .
Тъй като f ′′ ( x ) > 0 за всички x ( a , b ) и x 0 c 2 c 1 x (фиг. 15), тогава f ′′ ( c 2 )>gt; 0 ,
x − x 0 > 0 . Следователно f ( x ) − y > 0