Извеждане на производни на arctg(x) и arcctg(x)
Извеждане на производната на аркутангенса
Тук приемаме, че знаем производната на тангенса: . След това извеждаме формулата за производната на арктангенса, като се има предвид, че арктангенсът е обратната функция на тангенса.
Според формулата за производната на обратната функция
Разгледайте функцията арктангенс: y = arctg x . Тук независимата променлива x може да приеме произволна реална стойност: . Зависимата променлива y може да приема стойности от - π/2 до + π/2 : . Арктангенсът е обратната функция на тангенса: x = tg y .
За да определим нейната производна, прилагаме формулата за производната на обратната функция:(1).
Знаем производната на тангенса: . Тук. Нека разменим нотацията на променливите x и y. След това , където . Заместник във формула (1):(2). Тук y = arctg x ; x = tan y.
Сега нека изразим дясната страна на формулата (2) чрез променливата x. За целта използваме формулата и извършваме трансформации: . Следователно . Заместник в (2): .
Така сме извели формулата за производната на аркутангенса: .
Втори начин
Тъй като арктангенс и тангенс са взаимно обратни функции, тогава(3). Нека диференцираме това уравнение по отношение на x. Тоест намираме производните на лявата и дясната част и ги приравняваме една към друга:(4).
Производната на лявата страна се намира по формулата за производната на сложна функция: . Тук. След това нека извършим трансформации: . След това .
Извеждане на производната на обратната допирателна
Използване на връзката между арктангенс и арктангенс
Производната на обратната допирателна може да се получи от производнатаарктангенс, ако използвате връзката между арктангенс и арктангенс: . Следователно .
Според формулата за производната на обратната функция
Разгледайте функцията арккотангенс: y = arcctg x. Тук независимата променлива x може да приеме произволна реална стойност: . Зависимата променлива y може да приема стойности от 0 до π: . Аркотангенсът е обратната функция на котангенса: x = ctg y.
За да определим нейната производна, прилагаме формулата за производната на обратната функция:(1).
Смятаме, че производната на котангенса ни е известна: . Тук. Нека разменим нотацията на променливите x и y. След това , където . Заместник във формула (1):(5). Тук y = arcctg x ; x = ctg y.
Нека изразим дясната страна на формулата (5) чрез променливата x. За да направите това, нека извършим трансформации: . Следователно . Заместник в (5): .
Така сме извели формулата за производната на обратната допирателна: .
Втори начин
Тъй като аркотангенсът и котангенсът са взаимно обратни функции, тогава(6). Нека диференцираме това уравнение по отношение на променливата x :(7).
Производната на лявата страна се намира по формулата за производната на сложна функция: . Тук. След това нека извършим трансформации: . След това .
Автор: Олег Одинцов. Публикувана: 07-05-2017