Какво е геометрия на Риман
Геометрия, в която има различна, в сравнение с Евклидовата, формулировка на аксиомата за паралелизъм.
Аксиомата на Евклид постулира, че през точка извън праватае възможно да се начертае права, която не я пресича, исамо една. Както можете да видите, тук ведна аксиома имадве твърдения: че е възможно да се начертае такава права линия и че тя е уникална.
Опитите да се разглежда този постулат на Евклид като аксиома и да се докаже съществуването и уникалността на успоредна линия са правени почти от времето на самия Евклид, но нищо не се получава. Първият пробив е успешен за Лобачевски, който, приемайки, че такава линияне е единствената, създава своя собствена геометрия - геометрията на Лобачевски. Геометрията тук се разбира като определена система от изходни твърдения (аксиоми) и произтичащата от нея система от доказуеми твърдения (теореми), в които няма вътрешни противоречия. Оказа се, че ако приемем съществуването на поне две линии, минаващи през една и съща точка и не пресичащи дадената линия, нищо страшно не се случва: възможно е да се изгради абсолютно същия набор от теореми, които не си противоречат, въпреки че са необичайни от гледна точка на обикновената евклидова геометрия.
Е, геометрията на Риман е почти същата: Риман предполага, че е НЕВЪЗМОЖНО да се начертае линия през точка извън линия, която не я пресича (тоест твърдение, противоположно по смисъл на това, което предлага Лобачевски). И той също получи система от непротиворечиви теореми, които формират риманова геометрия (между другото, това не е същото като риманова геометрия). Така че в геометрията на Риман съществуването на успоредни прави не само е "забранено", но те просто отсъстват там по дефиниция.
Геометрията на Риман е "по-близо до живота" отГеометрията на Лобачевски. Геометрията на Риман се изпълнява върху повърхност с постоянна положителна кривина (сфера), където кръгът на голям кръг се счита за права линия (т.е. равнината на такъв кръг минава през центъра на сферата). Лесно е да се провери, че на такава повърхност няма "успоредни линии", като вземете топка или глобус. Геометрията на Лобачевски се изпълнява върху повърхност с постоянна отрицателна кривина (псевдосфера) - такава повърхност се описва от трактриса, въртяща се около своята асимптота.