Концепцията за едноетапни и многоетапни методи
Повечето от разглежданите числени методи за решаване на задачата на Коши могат да бъдат сведени до формата
y n+1 = F (y n q ; y n q+1 ; : : : ; y n ; y n+1 ; : : : ; y n+s );
където F е известна функция на посочените аргументи, определена от метода на конструиране на метода и в зависимост от формата на уравнението ( 1 ) и избраната мрежа ( 5 ) (от x44). За q = 0; 0 s 1 такива изчислителни методи обикновено се наричат едноетапни, а за q 1 или s>gt; 1 - многоетапен. Както едноетапните, така и многостъпковите методи във формата ( 1 ) се наричат явни в случай на s = 0 и имплицитни в случай на s = 1: В случай на s>gt; 1 многоетапните правила често се наричат методи за прогнозиране.
Ако правилото ( 1 ) е едноетапно, тогава изчисленията по това правило могат да започнат от стойността n = 0 и да се извършат до стойността n = N 1 включително. В случай на многоетапни методи от този тип, дискретният аргумент n може да варира само от n = q до n = N s; което, най-общо казано, води до нарушаване на хомогенността на изчислителния процес и изисква прилагането на специални изчислителни правила за намиране на първите q стойности на y 1; y2; : : : ; y q приблизително решение и неговите последни s 1 стойности y N S+2 ; y N S+3; : : : ; y N : В това отношение се предпочитат едноетапни методи. По-удобно е да ги използвате дори когато
Страница 181 от 403
стъпката на мрежата h n = x n+1 x n не е постоянна за всички стойности на n: Типът на едноетапните методи не е свързан с размера на стъпката в предишния етап на изчислителния процес и следователно тези правила позволяват лесно промяна на стъпката на числено интегриране, докато многоетапните методи трябва да бъдат специално адаптирани за тези цели. Основният недостатък на една стъпкаметодите е свързано с тяхната трудоемкост в сравнение с многоетапните методи. При едноетапните методи информацията за решавания проблем се използва само в рамките на една стъпка и при преминаване от стъпка на стъпка тя трябва, най-общо казано, да бъде получена наново. Докато в случай на многоетапни методи е възможно да се използват повторно части от такава информация на няколко съседни етапа на изчисления, което прави възможно намаляването на разходите за изчислителен труд за всяка стъпка на числено интегриране.
Страница 182 от 403
§46. Конструиране на едноетапни методи чрез разлагане на решението в ред на Тейлър
Приемаме, че процесът на решаване на задачата на Коши ( 1 ), ( 2 ) (от §44) е доведен до точката x n ; (0 n N) и съответното приближение y(x n ) на желаното решение е известно. Нека изградим изчислително правило за намиране на решение в следващата възлова точка x n+1 = x n + h n на мрежата ( 5 ) (от §44).
Тъй като при конструирането на едноетапни методи информацията за решавания проблем се използва само в рамките на една интеграционна стъпка, възможно е да не се записва индексът n, без да се компрометира разбирането; обозначаващ номера на процеса. И така, необходимо е да се намери стойността на това решение в следващата точка x + h от известната стойност y(x) в възловата точка x x 0: Нека използваме изчислително правило като ( 3 ) (от §44).
което може да се използва като основа за изчислителен едноетапен метод, ако се изчислят стойностите на y (i) (x); i = 2; 3; : : : ; m използвайте формули като ( 3 ) (от §44). При условие, че даденото решение на уравнението ( 1 ) има непрекъсната производна от ред m + 1 на разглежданата отсечка; грешката на приблизителното равенство ( 1 ) очевидно ще бъде от порядъка на h m+1 и за малки h и големи m построената
Страница 183 от 403
метод щедават, като правило, доста добро приближение до желаната стойност на решението.
Въпреки това, такъв едноетапен метод за интегриране на диференциални уравнения за m>gt; 1 все още рядко се използва в компютърната практика
leniya, защото приложението му изисква на всяка стъпка да се намери m(m + 1) 2
различни производни на f; f x ; f y ; f x 2; f xy ; : : : ; f y m 1 : Естествено е да се постави проблемът за такова подобрение на горния едноетапен метод, който да запази основните си предимства, но не е свързан с намирането на стойностите на производните на дясната страна на уравнението ( 1 ). За да се изпълни последното условие, производните y (i) (x); i = 2; 3; : : : ; m, включени в дясната страна на равенството, могат да бъдат заменени с числени формули за диференциране с техните приблизителни изрази по отношение на стойностите на функцията y 0 и да се вземе предвид, че y 0 = f[x; y(x)]. По-долу, на конкретни примери, ще бъде разгледан един от възможните подходи за решаване на проблема.
Случай m = 1. Тогава приблизителното равенство ( 1 ) не изисква изчисляване на производните на дясната страна на уравненията и позволява с грешка от порядъка на h 2 да се намери стойността y(x n + h) на решението на това уравнение от известната му стойност y(x n ). Съответното правило за една стъпка
може да се запише във формата
y n+1 = y n + hf n;
използвайки нотацията f(x n + h; y n [k + ]