Координатна система

Могат да се използват различни координатни системи за определяне на позицията на произволна точка. Позицията на произволна точка във всяка координатна система трябва да бъде еднозначно определена. Концепцията за координатна система е комбинация от референтна точка (началото на координатите) и някаква основа. Както в самолета, така и в космоса е възможно да се зададат голямо разнообразие от координатни системи. Изборът на координатна система зависи от характера на геометричната, физическата или техническата задача. Помислете за някои от най-често използваните координатни системи в практиката.

Декартова координатна система.

Фиксираме точка O в пространството и разглеждаме произволна точка M.

Ще наричаме вектора радиус-вектор на точката M. Ако в пространството е зададен определен базис, то точката M може да се свърже с определена тройка числа - компоненти на нейния радиус-вектор.

Определение.Декартова координатна система в пространството е комбинация от точка и основа. Точката се наричаначало. Правите, минаващи през началото, се наричат ​​координатни оси.

1-ва ос - осабсциса

2-ра ос - осордината

3-та ос - осприложение

За да намерите компонентите на вектор, трябва да извадите координатите на началото от координатите на неговия край.

Ако са дадени точки А(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), тогава = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1).

Определение. Базисът еортонормален, ако неговите вектори са по двойки ортогонални и равни на единица.

Дефиниция. Декартова координатна система, чиято основа е ортонормална, се наричаДекартова правоъгълна координатна система.

Пример.Дадени вектори (1; 2; 3), (-1; 0; 3), (2; 1; -1)и (3; 2; 2) в някаква основа. Покажете, че векторите , и образуват основа и намерете координатите на вектора в тази основа.

Векторите формират основа, ако са линейно независими, с други думи, ако уравненията, включени в системата:

са линейно независими.

Тогава .

Това условие е изпълнено, ако детерминантата на системната матрица е различна от нула.

За да разрешим тази система, използваме метода на Крамер.

D1 =

;

D2=

D3=

Общо координатите на вектора в базиса , , : < -1/4, 7/4, 5/2>.

Дължината на вектор в координати се определя като разстоянието между началната и крайната точка на вектора. Ако в пространството А(х1, y1, z1), B(x2, y2, z2) са дадени две точки, то .

Ако точката M(x, y, z)разделя отсечката AB в съотношение l / m, броено от A, тогава координатите на тази точка се определят като:

В конкретен случай координатитена средата на сегмента се намират като:

---