креватче - матрици
Матрицата е таблица с числа, състояща се от m реда и n колони, матрицата се записва като
Матриците са равни една на друга, ако съответните им елементи са равни А=В ако aij=bij където aij bij-елементи на матрици
Матрица, която има същия брой редове като броя на колоните, се нарича квадратна матрица.
Квадратна матрица, в която всички елементи са равни на нула, с изключение на главния диакон, се нарича диагонал.
Диагонална матрица, в която всички елементи са равни на единица, се нарича единична матрица.
Квадратната матрица се нарича триъгълна, ако всички елементи, разположени от едната страна на диакона, са равни на нула
Матрица, в която всички елементи са равни на нула, се нарича нулева
Матрица, съдържаща една колона или ред, се нарича векторна колона векторен ред
Матрицата, получена чрез замяна на редове с колони, се нарича транспонирана матрица
Действия върху матрици
Операцията за събиране на матрици е въведена само за матрици с еднакъв размер
Сумата от две матрици A и B е матрицата C, чиито елементи cij=aij+bij Разликата на матриците се определя по подобен начин
Произведението на матрица с число се нарича матрица B, в която елементите bij=k*aij
Матрица – A = (-1) A се нарича обратното на матрица A. Разликата на матриците A-B може да се дефинира като A-B = A + (-B)
Операцията за умножение на две матрици се въвежда само когато броят на колоните на първата матрица е равен на броя на редовете на втората матрица m*n пъти n*p е равен на m*p матрицата.
Умножението се извършва по следния начин: елементите на i-тия ред и k-тата колона на матрицата на произведението на матрица C са равни на сумата от произведенията на елементите на i-тия ред на матрица A по съответните елементи на k-тата колона на матрица B
Операциите за събиране и умножение на матрици имат следните свойства:
Елементарни матрични трансформации
Разменете два успоредни реда на матрица
Умножение на всички елементи от матричен ред с различно от нула число
Добавяне към всички елементи на реда на матрицата на съответните елементи на паралелния масив, умножени по едно и също число
Матриците, получени чрез елементарни преобразувания една в друга, се наричат еквивалентни матрици.
Операцията на умножение на матрица се извършва тогава и само ако броят на колоните на една матрица е равен на броя на редовете на матрицата на друга m*n се умножава по n*p и се получава m*p
Произведението на матрица A и матрица B е матрица C, в която елементът на i-ред и k-колона е равен на сумата от продуктите на елементите на i-ред на матрица A и съответните елементи на k-колона на матрица B
Матриците A и B се наричат пермутабилни, ако AB=BA
Свойства на матрично умножение
Рег.1: Матричната детерминанта няма да се промени, когато матрицата се транспонира
Sp2: Когато два успоредни реда се разменят, детерминантата променя знака на противоположния
Правило 3: Детерминанта с два еднакви реда е равна на нула
Свойство 4: Общият множител на елементите на всяка серия от детерминантата може да бъде изваден от знака на детерминантата
Свойство 5: Ако елементите на която и да е поредица от детерминантата са сбор от два члена, тогава детерминантата може да се разложи на сумата от две съответни детерминанти
Свойство 6: Детерминантата няма да се промени, ако съответните елементи на паралелната серия, умножени по произволно число, се добавят към елементите на един ред
Теорема: детерминантата на произведението на две квадратни матрици е равна на произведението на детерминантитеумножени матрици det(A*B)=detA*detB
Минорът на някакъв елемент aij от детерминантата от n-ти ред е детерминантата от n-1-ви ред, получена от оригиналния чрез изтриване на реда и колоната, в пресечната точка на които се намира избраният елемент
Алгебричното допълнение на детерминантния елемент aij е неговият минор, взет със знак плюс, ако сумата i+j е четно число и със знак минус, ако тази сума е нечетна.
Ст. 7: Детерминантата е равна на сумата от произведенията на елементи от дадена серия и тяхното алгебрично допълнение
Ст.8: Сумата от произведенията на елементите на всяка редица от детерминантата и алгебричното допълнение на съответните елементи на успоредната редица е равна на нула a11A21+a12A22+a13A23=0
Неособена матрица е матрица, чиято детерминанта е различна от нула
Изродена матрица е матрица, чиято детерминанта е нула
Рангът на матрица е най-големият от редовете на второстепенни, различни от нула, рангът на канонична матрица е броят на единиците по нейния диагонал, рангът на матрицата е максималният брой линейно независими редове на матрицата A.
При транспониране на матрица нейният ранг не се променя.
Ако изтриете нулевата колона от матрицата, рангът на матрицата няма да се промени
Рангът на матрицата няма да се промени при елементарни трансформации
Еквивалентни матрици се наричат матрици, когато една матрица се получава от друга с помощта на елементарни трансформации матриците не са равни, но ранговете им са равни
Теорема:За да има обратна матрица A, е необходимо и достатъчно нейната детерминанта да е различна от нула
Чрез детерминантата на обратната матрица A на минус първа степен = B; Следва AB=BA=E
А и А на минус една степен са заменяем квадратматрици от този ред, съгласно теоремата за произведението на обратни матрици, имаме, че detA*detA на минус първа степен=det(A*A на минус първа степен)=detE=1=detA*detA на минус първа степен от това следва, че никоя детерминанта не може да бъде нула, ако матрицата има обратна матрица
Системи линейни уравнения
Набор от n числа C1,C2,Cn се нарича решение на система от уравнения, ако всяко уравнение на системата се превръща в истинска идентичност (лявата страна е равна на дясната след заместване на n с X)
Система от уравнения се нарича последователна, ако има едно или повече решения, системата не е последователна, ако няма решения.
Ако една система има набор от решения, тогава всяко решение се нарича частно, а множеството от всички частни е общо решение на системата.
Еквивалентни системи са системи, в които решението на една система е решение на друга и обратно, всички несъвместими системи са еквивалентни.
Теорема: Крамерсистема от m уравнения и n неизвестни в случая, когато детерминантата на тази система е различна от нула, има решение и само едно решение се намира по формулите Х=deti/det за всички i
където det е детерминантата на системата
дети-детерминанта на матрицата, получена чрез замяна на i-тата колона с колона от свободни членове.
Ако детерминантата е различна от нула, достатъчно е матрицата да има обратно A на степен минус едно
AX=B; X=B/A; X \u003d B * A-1 градуса, заместваме в първия ur-e, получаваме A * B * Av -1 градуса \u003d B A * A в минус първия
матрица за идентичност на степента, следователно EB=B; B=B
Да предположим, че матрица A има набор от решения (X1, X2, Xn), тогава AX2=Vi AX1=B, следователно AX2=AX1
Умножавайки двете части по обратната матрица A, получавамеEX2=EX1 следователно, X1=X2 т.е. нотацията (X1X2Xn) е безсмислена и всички x са равни. Преместване на формулата на Крамър: напишете X \u003d A в минус първото * B, където B е векторната колона на свободните членове A в минус първата обратна на A, записваме обратната матрица, равна на едно, разделено на детерминантата на матрица A, умножена по матрицата на обединение, ...
Базисният минор е ненулев минор от r-ти ред, където r е рангът на матрицата.
Основна малка теорема:
Всяка колона на матрица е линейна комбинация от нейните основни колони; самите основни колони са линейно независими (вярно за редове).
Нека aik са елементите на матрицата (k 1,…m редове, j=1,…n колони) нека С1С2Сn са колоните на матрицата нека основният минор е в колоната (Cj1, Cj2,…Cjr) и в редове с номера k1,…kr. Докажете, че за всяка колона има числа L1,…,Lr, така че колоната да е линейна комбинация от колони Cj=L1Cj1+,…+LrCjr (1)
За елементите на матрицата A, като се вземат предвид свойствата на матрицата, уравнението (1) има формата (1
Калкулатор
Услуга за безплатна оценка на цената на работата
- Попълнете заявление. Експертите ще изчислят цената на вашата работа
- Изчисляването на цената ще дойде по пощата и SMS
Номерът на вашето приложение
Точно сега по пощата ще бъде изпратено автоматично писмо за потвърждение с информация за приложението.