Критерий на Найкуист - Студопедия

Критериите на Хурвиц и критериите на Михайлов могат да се използват за изследване на стабилността както на отворени, така и на затворени системи, въз основа на характеристичния полином. Критерият на Найкуист се използва за изследване на стабилността на затворени системи. Въз основа на комплексната честотна характеристика (амплитудно-фазова честотна характеристика) на система с отворена верига.

CCH има реални и въображаеми условия:

За да се конструира CFC, ω се задава от 0 до ∞ и се получава ходограф на комплексната равнина. Изгледът на ходографа, местоположението му спрямо точка - 1 на реалната ос, позволяват да се прецени устойчивостта на затворена система.

Нека разгледаме формулировките на критерия на Найкуист за три случая.

1.Отворената система е стабилна. Ако ходографът на стабилна система с отворен цикъл, когато ω се променя от 0 до ∞, не покрива точката –1 на оста x, тогава затворената система ще бъде стабилна.Включва – затворената система е нестабилна.

Примери за ходографи, съответстващи на стабилни и нестабилни затворени системи, са показани на фиг. 5.8 и 5.9.

Ориз. 5.8. устойчивостОриз. 5.9. Нестабилност

Във втората формулировка на критерия на Найкуист се използва концепцията за покритие на точка от ходограф в положителна или отрицателна посока. Положителна посока е тази, в която краят на вектора се движи обратно на часовниковата стрелка. Отрицателна - по часовниковата стрелка.

2.Отворената система е нестабилна. Ако ходографът на нестабилна отворена система с промяна на ω от 0 до ∞покрие точката –1 на оста x в положителна посокаm/2 пъти, къдетоm –е броят на корените на характеристичното уравнение на отворена система с положителна реалначаст, тогава затворената система ще бъде стабилна.

Примери за ходографи, съответстващи на стабилни и нестабилни затворени системи във втория случай, са показани на фиг. 5.10 и 5.11 заm= 2.

Ориз. 5.10. Стабилност (m= 2)5.11. Нестабилност (m= 2)

Ако една отворена система има трансферна функция, съдържаща комплексна променливаpв знаменателя, тогава комплексната честотна характеристика ще има несигурност при ω=0.Амплитудата става безкрайна. Ходографът се получава с безкраен клон. Но ако ходографът се допълни мислено с огледален клон и се начертае полукръг с безкрайно голям радиус, така че да пресича положителната част на абсцисната ос, тогава тази техника позволява да се използва първата формулировка на критерия на Найкуист.

3.Астатичен отворен цикъл. Ходографът е огледален и кривите се "затварят" до безкрайност. Тогава, ако точката –1 на оста x е извън затворената крива, затворената система е стабилна. Ако е покрит от крива, той е нестабилен. Примери за такива ходографи са показани на фиг. 5.12 и 5.13.

Ориз. 5.12. устойчивостОриз. 5.13. Нестабилност

Затворена система ще бъде на границата на стабилност, ако ходографът на отворена система минава през точка -1 на оста x. Аналитично това условие може да се запише като .

5.5. Избор на област на стабилност D - разделяне

Стабилността на системата за автоматично управление зависи от коефициентите на диференциалното уравнение, което я описва. Една част от коефициентите осигурява стабилни решения на диференциалното уравнение, другатачаст - допълваща първата - осигурява нестабилни решения.

Идеята на метода на разделянеD -е да се намери границата между тези коефициенти и по този начин да се посочи зоната на стабилност. За целта се отделят един или два важни коефициента, те се променят и се изследва как се променят корените на характеристичното уравнение. Всички останали коефициенти са фиксирани.

Нека е дадено характеристичното уравнение на системата за автоматично управление: . (2.7.)

Нека са дадени всички коефициенти, с изключение на и . Да предположим, че уравнение (2.7.) имаkкорени в равнината на корените отляво на въображаемата ос иn - kкорени отдясно за някои стойности на и , фиг. 5.19.

Ориз. 5.19. Коренна равнинаФигура 5.20. Коефициент равнина

Ще променим стойностите на коефициентите и ще намерим корените. Може би за определен набор от стойности и броят на корените отляво и отдясно на въображаемата ос не се променя. Тоест съотношението междуkиn-kостава постоянно. Докато наборът от други стойности на коефициентите и променя съотношението междуkиn–k. Можете да посочите граница, разделяща областта на постоянна връзкаkиn-k. Този регион е обозначен катоD(k,n–k), фиг. 5.20.

Например, за характеристично уравнение от четвърта степен, следните области могат да бъдат в равнината на коефициента:D(0.4),D(1.3),D(2.2),D(3.1),D(4.0). Има общоn+ 1 области.

От всичкиD(k, n–k), само един ще бъде областта на стабилност:D(n, 0). При него всички корени, разположени вляво от въображаемата ос, имат отрицателна реална част. Въображаемата ос е границата на стабилност вкоренови равнини. В равнината на коефициентите кривата, разделяща областта на стабилност от областта на нестабилност, няма да бъде нищо друго освен трансформирана въображаема ос.

5.5.1. D - разделен по един параметър

Нека започнем да изучаваме метода на разделянеD, като открием влиянието на един параметър върху стабилността. С дадените стойности на други параметри. Означаваме параметъра със символа λ. Това може да бъде коефициент на характеристично уравнение или комбинация от коефициенти. Например в уравнението

може да се нарече параметър.

Да кажем, че е направен избор. Тогава уравнението ще приеме формата

Означаваме полинома, който е умножен по λQ(p), останалотоS(p). Уравнението ще приеме общ вид: . (5.4)

Представяне на уравнение (5.4) във формата , (5.5)

получаваме λ като функция на променливатаp.

За да конструираме границите на областта на стабилност, поставямеp=jω. Тогава λ (p) става комплексно число:

Ако сега зададем ω от 0 до + ∞, векторът λ (jω) ще начертае някаква крива на комплексната равнина (U,V). Тази крива показва на равнинатаU,Vвъображаемата ос на комплексната равнина на корените, т.е. тя ще бъде границата, от едната страна на която имаkкорени, от другата странаn–k.

Ако зададете ω от 0 до -∞, получавате огледален образ на кривата за + ω. Следователно кривата се изчислява за положителни ω,и след това се допълва с огледален образ около реалната ос.

За да разберете от коя страна са коренитеk,D- областта на разделяне е осветена със щриховка. Съображенията са следните.

При движение по въображаемата ос в равнината на корените (фиг. 5.21) от ω \u003d - ∞ до ω \u003d + ∞, областта, в коятоса всички корени на стабилността ще бъдат оставени през цялото време. Показано е с пунктирани линии.

Изисква се в равнината (U, V) областта на стабилност също да е отляво на D-разделителната крива, ако се движим от – ∞ към + ∞. Лявата страна на кривата е щрихована.

Ориз. 5.21. Коренна равнинаОриз. 5.22. КривиD-разлагане със щриховка

Разгледайте като пример кривата, показана на фигура 5.22. Тази крива показва как да приложите щриховка. Областта на стабилност е ограничена от крива със щриховка навътре.

Параметърът λ във физическото си значение е реална стойност, следователно за изчисления се използва само сегментът от реалната ос, покрит с криви с щриховка навътре: от точка 1 до точка 2 на фиг. 5.22.

Не намерихте това, което търсихте? Използвайте търсачката:

Деактивирайте adBlock! и обновете страницата (F5)наистина е необходимо