Критерий за несъгласуваност на система от линейни неравенства

Нека се обърнем към разглеждането на нехомогенни системи от линейни неравенства.

ТЕОРЕМА 1.8. Система от неравенства

е непоследователен тогава и само тогава, когато има реални числа, които отговарят на условията

Доказателство. Да приемем, че системата (1) е непоследователна и да докажем, че има реални числа, които отговарят на условия (2). Позволявам

Да разгледаме хомогенна система от неравенства

с променливи Неравенство

е следствие от система (4). Действително, ако е произволно решение на система (4), то

за при , векторът би бил решение на система (4), а векторът би бил решение на оригиналната система (1), което би противоречало на предположението, че тази система е непоследователна.

Тъй като неравенството (5) е следствие от система (4), тогава, съгласно теоремата на Минковски, векторът може да бъде представен като неотрицателна линейна комбинация от вектори

т.е. има реални числа, такива че

С оглед на (3) това означава, че

т.е. условията (2) са изпълнени.

Нека сега приемем, че има реални числа, които отговарят на условия (2), и ще докажем, че системата (1) е непоследователна. Помислете за неравенството

което е неотрицателна линейна комбинация от неравенствата на система (1). Съгласно предложение 1.1 това неравенство е следствие от система (1). С оглед на (2) неравенството (7) може да се запише като

Това неравенство няма решения и е следствие от система (1), така че система (1) е непоследователна.

Нека за

ТЕОРЕМА 1.9. Неравенство

е следствие от неравенството

ако и само ако системата е последователна

Теорема 1.9 следва директно от предложение 1.1 и теорема 1.8.

ТЕОРЕМА 1.10. Система

(където b е колона) е последователен тогава и само ако за всяко .

Заменяйки, съответно, в Теорема 1.9, ще видим, че Теорема 1.10 е друга формулировка на Теорема 1.9.

Копирането на информация от страницата е разрешено само с връзка към този сайт

---