Лекции по алгебра Модулът се нарича цикличен ако
Модулът се нарича цикличен, ако е генериран от един елемент. Аналог на теорема 10 за разлагането на първичен модул в пряка сума от първични циклични се доказва по същия начин като самата теорема 10, но може да създаде известна трудност само при избора на обектите, върху които се извършва индукцията.
Крайните абелеви групи са крайно генерирани периодични модули за пръстена Z от цели числа. Пространство с оператор може да се разглежда като крайно генериран периодичен модул върху полиномиалния пръстен K[t],
(a, + a2) X a (X1 + X2) ос (a2x) 1-x
линейни оператори във векторно пространство
с "умножението" на вектора по F(t) по правилото (F(t))x = F(si)x. Както Z, така и K[t] са главни идеални пръстени.
10. Някои последствия.
Твърдение 11. Характеристичният полином на оператор върху първично пространство е равен на степента на съответния нередуцируем полином с експонента, равна на сумата от експонентите в минимални полиноми за циклични членове.
Наистина, характеристичният полином върху пряката сума от инвариантни подпространства е равен на произведението на характеристичните полиноми върху тези подпространства. Първичното пространство се разлага на пряка сума от циклични подпространства, като на всяко циклично подпространство характерният полином е равен на минимума. Минималният операторен полином на всеки първичен цикличен член е степента на нередуцируем полином, а именно степента на който е минималният полином на първичното пространство.
Предложение 12. Нека S е пространство с операторен праг φ™if™2 . cpmk е каноничното разширение на характеристиката
полином Si. Тогава първичните множители qpf i, q>m2, . фута*
са равни на характеристичните полиноми на оператора si върху пълните първични преки събираеми.
Действително, характеристичният полином на оператора 5 върху цялото пространство е равен на произведението на характеристичните полиноми върху пълните първични преки събираеми. Тези полиноми са равни на степените на нередуцируеми полиноми, които са различни за различните преки членове. Следователно произведението на тези характеристични полиноми е каноничното разширение на характеристичния полином върху цялото пространство.
Твърдение 13. Инвариантните подпространства на първично циклично пространство S с характерен полином φ са q>S, q>2S, . ft_15, съставляващи низходяща верига
S: e f5 \u003d e 92S \u003d) . ge qm-lS r> ft5 = 0.
Доказателство. Нека u е вектор, генериращ S. Тогава всички вектори от 5 имат формата F(Sf) u, където F(t) са полиноми от K[t). Нека P е инвариантно подпространство на пространството S и V = F\(si)u е вектор от P, за който полиномът F\(t) се дели на най-малката възможна степен на полинома φ. Нека тази степен е равна на fSh, така че F1 (t) =
където F2(t) не се дели на φ. Полиномът F2(t) е взаимнопрост с ft, така че има полиноми p(t) и q(t), така че F2P + ft. Така P = ft'(A)S за някои nt\. Включвания 5 zd f5 zd92S zd . zd(pm
lS zd ft5 = 0 са тривиални поради инвариантността на всички fNi (A)S.
Твърдение 14. Едно първично циклично пространство не може да бъде разложено на сбор от регулярни инвариантни подпространства.
Наистина, ако Pi и Po са две инвариантни подпространства, тогава едното от тях се съдържа в другото; нека P2(zz Pi и P2 + Pi = Pi Ф s.
По този начин разлагането на пространството в директна сума от първични циклични подпространства е окончателно; получените директни събираеми вече не са разложими в директна сумаинвариантни подпространства.
11. Канонична форма на операторната матрица. Както видяхме по-горе, за да се опрости операторната матрица, е целесъобразно пространството да се разложи на пряка сума от инвариантни подпространства и да се вземе за основа обединението на базите на преките събираеми. Тогава матрицата приема блоково-диагонална форма с блокове, равни на матриците на ограниченията на оператора върху преките събираеми.
Първичните циклични подпространства трябва да се приемат като директни събираеми. Ако в първично циклично пространство с минимален полином φ, където φ е нередуцируем полином от степен k, ние приемаме като основа u, siu, si2u, . simk
лу. където u е вектор, генериращ пространство, получаваме като операторна матрица матрицата, придружаваща полинома (si)u, ek+2 = siq>(si)u, e2k=sik-l(p(si)u, Предишни 130 131 132 133 134 135 .. 168 >> Следващи