Лекция 6 Системи линейни уравнения на Крамер
-
Джордж Бегун преди 3 години Прегледи:
1 Лекция 6: Системи на Крамер от линейни уравнения Уралски федерален университет, Институт по математика и компютърни науки, Катедра по алгебра и дискретна математика
2 Уводни бележки В курса по аналитична геометрия беше спомената теоремата на Крамер за системи от две линейни уравнения с две неизвестни и три линейни уравнения с три неизвестни. В тази лекция тази теорема ще бъде формулирана и доказана в общия случай за системи от n линейни уравнения с n неизвестни за всяко n. Ще бъдат получени и някои следствия от тази теорема.
3 Дефиниция на системата на Крамер. Детерминанти, свързани със системата на Крамер (1) Определение Система от линейни уравнения се нарича система на Крамер, ако броят на уравненията в нея е равен на броя на неизвестните. Системите на Крамер са кръстени на швейцарския математик от 18-ти век Габриел Крамер, който ги изучава. Да разгледаме система от n линейни уравнения с n неизвестни: a 11x 1 + a 12x a 1nx n b 1, a 21x 1 + a 22x a 2nx n b 2, a n1x 1 + a n2x a nnx n b n. (1) Детерминантата на основната матрица на система (1) ще се означава с и ще се нарича детерминанта на система (1).
4 Детерминанти, свързани със системата на Крамер (2) Освен това, за всяко i 1, 2. n, означете с i детерминантата на матрицата, получена чрез заместване на i-тата колона на основната матрица на система (1) с колоната от свободни членове на тази система. С други думи, a 11 a a 1n b 1 a a 1n a 21 a a 2n , 1 b 2 a a 2n , a n1 a n2. a nn b n a n2. a nn a 11 b 1 a a 1n a a 1 n 1 b 1 2 a 21 b 2 a a 2n . n a a 2 n 1 b a n1 b n a n3. a nn a n1. a n n 1 b n
5 Теорема на Крамър (1) Основният резултат от тази лекция е следната теорема, известна катоТеорема на Крамър. Теорема 1 Ако 0, то системата (1) има единствено решение, което се изчислява по формулите x n, x2. xn. Доказателство. Нека 0. Нека първо докажем съществуването на решение на система (1). За да направите това, достатъчно е да се уверите, че наборът от числа ( ) 1, 2. n (2) е решение на системата, т.е. превръща всички нейни уравнения в истински равенства. Заместваме този набор в първото уравнение на системата и разширяваме детерминанта 1 в първата колона, детерминанта 2 във втората колона. детерминанта на n от n-та колона.
6 Теорема на Крамър (2) Получаваме a a12 n + + a1n 1 ( a111 + a a1nn) 1 [ a 11(b 1A 11 + b 2A b na n1) + +a 12(b 1A 12 + b 2A b na n2) a 1n(b 1A 1n + b 2A 2n + + b na nn) ]. Отваряйки скобите и групирайки членовете, съдържащи b 1, b 2. b n, можем да пренапишем получения израз като nn)]. Изразът в първите скоби не е нищо повече от разгъване на детерминантата по първия ред, а изразите в останалите скоби са равни на нула по силата на предложение 8 от лекция 5.
7 Теорема на Крамър (3) Следователно накрая получаваме, че a a12 2 n + + a1n 1 b1 b1, т.е. наборът от числа (2) превръща първото уравнение на система (1) в истинско равенство. По подобен начин се проверява, че преобразува всички други уравнения на тази система в истински равенства. Нека сега докажем уникалността на решението. Нека (x1 0, x2 0. xn 0 ) е произволно решение на система (1). С други думи, този набор от числа превръща всички уравнения на системата в истински равенства: a 11x1 0 + a 12x a 1nxn 0 b 1, a 21x1 0 + a 22x a 2nxn 0 b 2, a n1x1 0 + a n2x a nnxn 0 b n. Умножаваме първото от тези равенства по A 11, второто по A 21, последното по A n1 и събираме получените равенства.
8 Теорема на Крамър (4) Групиране вот лявата страна на сумата, членовете, съдържащи x 0 1, x 0 2. x 0 n, получаваме (a 11A 11 + a 21A a n1a n1)x (a 12A 11 + a 22A a n2a n1)x (a 1nA 11 + a 2nA a nna n1)x 0 n b 1A 11 + b 2 A b na n 1. От лявата страна на това равенство изразът в първите скоби е точно разширението на детерминантата в първата колона, а изразите във всички останали скоби са равни на нула поради твърдения 8 и 10 от Лекция 5. А от дясната страна е разширението на детерминанта 1 в първата колона. Следователно последното равенство може да бъде пренаписано във формата x. Аналогично се доказва, че x 0 2 2. x 0 n n. Следователно вярна е забележка 1. Ако (x 0 1, x 0 2. x 0 n ) е решение на система (1), тогава x 0 1 1, x 0 2 2. x 0 n n.
9 Теорема на Крамър (5). Следствия 1 и 2 Тъй като 0, получаваме, че x 0 1 1, x 0 2 2. x 0 n n. И така, взехме произволно решение и доказахме, че то съвпада с решение (2). Следователно решението е уникално. Теоремата на Крамър е доказана. Нека посочим редица следствия от теоремата на Крамър. Забележка 1 веднага предполага Следствие 1 Ако 0 и поне една от детерминантите 1, 2. n е различна от 0, тогава системата (1) няма решения. Следствие 2 Ако 1 2 n 0, то системата (1) или няма решения, или има безкрайно много решения. Доказателството на следствие 2 е дадено на следващия слайд.
10 Доказателство за следствие 2. Следствие 3 Доказателство. Да приемем, че 1 2 n 0 и системата (1) е съвместима. Достатъчно е да се провери, че в този случай система (1) има безкрайно много решения. Нека намалим основната матрица на тази система до стъпаловидна форма. Ясно е, че получената матрица ще бъде горно триъгълна. Съгласно предложение 11 от лекция 5, поне един елемент на неговия главен диагонал е 0. Сега от дефиницията на стъпкова матрица следва, че последният ред на полученатастъпковата матрица е нула. Следователно броят на ненулевите редове в тази матрица е по-малък от броя на нейните колони. Както може да се види от представянето на метода на Гаус (виж Случай 3 в Лекция 4), това означава, че системата има безкрайно много решения. Теоремата на Крамър и следствия 1 и 2 директно предполагат следствие 3. Системата от линейни уравнения на Крамър има уникално решение тогава и само ако 0.
11 Следствие 4 Следствие 4 Хомогенната система от линейни уравнения на Крамър има ненулево решение тогава и само ако нейният детерминант е равен на нула. Доказателство. По силата на забележка 1 от лекция 3 всяка хомогенна система е непротиворечива. Следователно, ако 0, тогава, съгласно следствие 3, нашата система има повече от едно решение. Ясно е, че всички тези решения, с изключение на едно, са ненулеви. Обратно, ако една хомогенна система на Крамер има ненулево решение, тогава тя има повече от едно решение (тъй като винаги има нулево решение). Но тогава 0 поради теоремата на Крамър.
12 Пример за прилагане на теоремата на Крамър (1) Теоремата на Крамър често се използва за решаване на задачи, които на пръв поглед нямат нищо общо със системи от линейни уравнения. Нека дадем пример за такава задача. Задача. Намерете полином f (x) от степен 3, така че f (1) 0, f ( 1) 4, f (2) 2 и f ( 2) 6. Решение. Нека f (x) a 3x 3 + a 2x 2 + a 1x + a 0. Тогава: f (1) a 3 + a 2 + a 1 + a 0, f ( 1) a 3 + a 2 a 1 + a 0, f (2) 8a 3 + 4a 2 + 2a 1 + a 0, f ( 2) 8a 3 + 4a 2 2a 1 + a 0. Получаваме системата от линейни уравнения на Крамер: a 3 + a 2 + a 1 + a 0 0, a 3 + a 2 a 1 + a 0 4, 8a 3 + 4a 2 + 2a 1 + a 0 2, 8a 3 + 4a 2 2a 1 + a 0 6. Изчислете детерминантата на система (3), като намалите матрицата до триъгълна форма: ( 3)
13 Пример за прилагане на теоремата на Крамър (2) По-специално, 0 и следователно можем да приложим теоремата на Крамър.Намерете детерминантите 1. 4: , ,
14 Пример за прилагане на теоремата на Крамър (3) ,
15 Пример за прилагане на теоремата на Крамър (4) По силата на теоремата на Крамър имаме: a , a , a , 72 a Отговор. f(x)x3 + 2x2 + 3x4.