ЛЕКЦИЯ ПО СТАТИКА 1
препис
1 ЛЕКЦИЯ ПО СТАТИКА 1 Въведение в статиката. Система от събиращи се сили. 1. Основни понятия и аксиоми на статиката Връзки и реакции на връзките. 3. Система от събиращи се сили. 4. Разширение на вектора на силата по координатните оси. 5. Равновесие на системата от събиращи се сили. 1 въпрос. Теоретичната механика изучава общите закони на механичното движение и равновесието на материалните тела и произтичащите от тях взаимодействия. Теоретичната механика е разделена на три части: статика, кинематика и динамика. Статиката разглежда условията за равновесие на телата под действието на приложени сили и методите за превръщане на някои системи от сили в еквивалентни на тях системи. Основни понятия на статиката За тяло се приема материална точка, чиито размери са малки в сравнение със съседните тела. Например, изкуствен спътник на Земята се приема като материална точка, тъй като размерите му са малки в сравнение с нашата планета. Трактор, движещ се през полето, също може да се приеме за материална точка, когато дължината на коловоза е много по-голяма от неговия размер. Абсолютно твърдо тяло в теоретичната механика е такова тяло, чието разстояние между всеки две точки остава непроменено при каквито и да е силови въздействия, т.е. тялото не се деформира. Като считаме телата за абсолютно твърди, ние значително опростяваме изучаването на силите, действащи върху тялото, и условията, при които то е в равновесие. Следващата най-важна концепция е силата. Силата е физическа величина, която се появява при взаимодействието на тела или физически полета и се определя от появата на деформации или ускорения. Силата се характеризира с: точка на приложение, посока и големина. Линията, по която е насочена силата, се нарича линия на действие на тази сила. Силата е векторна величина. В системата SI силасе измерва в N (нютони), в някои случаи силата се измерва в kg. 1N = 0,10 N, 1 kg = 9,81 N.
2 Силите се делят на активни и пасивни. Активните сили създават или могат да създадат движение, докато пасивните възпрепятстват или разрушават движението. Съвкупността от сили, действащи върху тялото, се нарича система от сили. Ако тялото под действието на система от сили остава в покой или се движи напред, равномерно и праволинейно, тогава такава система се нарича балансираща система. Ако една система от сили, приложена към абсолютно твърдо тяло, може да бъде заменена с друга система, без да се нарушава нейната почивка, тогава такива две системи от сили се наричат еквивалентни. Няколко сили (F 1, F ), приложени към една точка, могат да бъдат заменени с една сила (R), наречена резултатна сила, и обратно, една сила може да се разложи на колко сили са приложени към една и съща точка. Аксиоми на статиката Общите аксиоми на статиката определят как механичната материя се движи и взаимодейства. Аксиомите се приемат без доказателство. Аксиома 1. За баланса на две сили, приложени към абсолютно твърдо тяло, е необходимо и достатъчно тези сили да бъдат равни по абсолютна стойност и насочени по една права линия в противоположни посоки (F 1 = F ). Аксиома. Без да се променя действието на тази система от сили върху абсолютно твърдо тяло, е възможно да се добавят или извадят от тази система две уравновесяващи сили (F1=F, F3=F4). Тази аксиома често се използва при извеждането на много теореми на статиката. Следствие от аксиомата. Без да се променя действието на тази сила върху тялото, точката на приложение на тази сила може да се пренесе по нейната линия на действие. Плъзгане на вектор на сила. Аксиома 3. Резултатът от две сили, приложени към абсолютно твърдо тяло в една точка, е равен на техния геометричен сбор, т.е. диагоналите на успоредника, изграден върху тези сили катоотстрани. Аналитично резултатната от две сили F 1 и F се определя от израза R = F + F + F F Cos( F ^ ) F
3 Аксиома 4. Силите, с които две тела действат едно върху друго, винаги са равни по абсолютна стойност и са насочени по една права линия в противоположни посоки. Аксиома 5. Ако едно деформируемо тяло, което се намира под действието на тези сили в състояние на равновесие, стане абсолютно твърдо (втвърдено), то равновесието му няма да бъде нарушено. Това е принципът на втвърдяването, който установява връзка между статиката на абсолютно твърдо тяло и статиката на деформируемите тела. въпрос. Ако върху материална точка или абсолютно твърдо тяло не действат други тела, тогава такова тяло се нарича свободно. Всички тела, които ограничават движението на тяло, към което се прилага силово натоварване, се наричат връзки. Силата, с която една връзка действа върху дадено тяло, се нарича реакция на връзката. Реакцията на връзката винаги е пасивна сила, зависеща в числена стойност от активните сили и от конструкцията на връзката между връзката и тялото и е насочена обратно на посоката, в която връзката пречи на движението на това тяло. Има толкова връзки, колкото и материални тела. Връзките са разделени на класове според тяхната конструкция и начина на свързване с други тела. Въпрос 3. Ако линиите на действие на силите се пресичат в една точка, тогава такава система от сили се нарича конвергентна система от сили. Точката, в която се пресичат линиите на действие на силите, се нарича център на конвергентната система от сили.
4 Конвергентната система от сили може да бъде плоска (а) или пространствена (б), в зависимост от това дали силите образуват плоска греда или пространствена. Сближаваща се система от сили може да се сведе до резултатна или да е в равновесие. Както бе споменато по-горе, резултатът се намира от аксиома 3, в случай, че има много сили,резултатът може да бъде намерен графично чрез конструиране на векторен многоъгълник. Теорема. Ако тялото е в равновесие под действието на n неуспоредни сили, лежащи в една и съща равнина, тогава линиите на действие на тези сили се пресичат в една точка. Нека докажем дадената теорема на пример от 3 сили. Ако силите F 1 и F се пресичат в една точка A, те могат да бъдат заменени с резултантната R. Тогава тялото е под действието на силите F 3 и R. И в нашия случай на равновесие според аксиома 1 те са насочени в противоположни посоки по една права линия и са равни по абсолютна стойност.
5 Пример. Както се вижда от фигурата, не е възможно предварително да се посочи посоката на реакцията в шарнир А (вижте въпроса от лекция 1). Нека начертаем линиите на действие на известната активна сила и реакцията в опората B, те се пресичат в точка O, което означава, че линията на действие на реакцията A ще премине през тази точка въз основа на горната теорема. Остава само да се посочи посоката на реакцията в шарнир А. Въпрос 4. Проекцията на силата върху оста Проекцията на силата върху оста определя частта от силата, която действа в посоката на тази ос. Геометричният метод за проекция на сила върху ос ви позволява да определите: Проекция на сила до нула (Силата е перпендикулярна на тази ос). Проекция на сила в пълен размер (Силата е успоредна на дадената ос). Знак за проекция на сила (Ако компонентът на силата действа по протежение на оста и съвпада с посоката на оста, тогава проекцията се взема със знака „+“, в противен случай „-“). Векторът на силата и двете му проекции върху взаимно перпендикулярни координатни оси образуват правоъгълен триъгълник, в който хипотенузата по модул е силата, а катетите са проекциите на силата. Следователно аналитично проекцията на силата върху оста може да се представи като произведение на силата и косинуса на ъгъла между силата и оста.
6 Проекцията на силата върху равнината XOU е вектор, насочен от началото на проекцията на силата върху равнината към точка, съвпадаща с проекциятакрая на силата върху дадена равнина. За да се зададе аналитично силата е необходимо и достатъчно да се зададат нейните проекции върху координатните оси. Силата F ще бъде посочена, ако нейната числена стойност и посока са известни. Тогава при ъгли α,β и γ между силата и координатните оси получаваме: F X =F Cos(α), F Y =F Cos(β), F Z =F Cos(γ). Следователно F = F + F + F, като по този начин, знаейки проекциите на силата, X Y Z, е лесно да се намери нейният модул и ъгли с координатните оси. Разлагането на вектора по координатите на вектора F X, F Z са компонентите на вектора F. Тъй като проекциите на вектора F съвпадат с посоките на осите на координатата, а осите от своя страна са насочени по протежение на единичните вектори I, J, k, изразът f = fx i + fz k + fz k в с други думи, в този израз на вектора се разпада през координатните волове, коефициентите на изплюване за мащаба s Tah I, J, K са проекциите на този вектор върху тези оси. Теоремата за проекцията на резултата върху произволна ос. Проекцията на резултата върху която и да е ос е равна на алгебричната сума от проекциите на членовете на силите върху същата ос. Доказателство. Нека изградим многоъгълник на сила и проектираме всички вектори върху оста X.
7 Проекциите на резултантната се определят като алгебрични суми на проекциите на силите, които съставляват резултантната, а посоката се определя чрез насочващите косинуси R X = ΣF X ; R Y = ΣF Y ; R Z = ΣF Z. R = FX ) + ( FY ) + ( ( FZ ) Тъй като R X =R Cos(α), тогава Cos(α)=R X /R, Cos(β)=R Y /R, Cos(γ)=R Z /R една от тези сили беше затворена Аналитично условие за равновесие За система от сближаващи се сили е необходимо сумитепроекция означава нула, равна на всяка координатна ос. Равнинна система от конвергентни сили R X = ΣF X =0; R Y = ΣF Y =0; R = ( F X ) + ( FY ) =0 Пространствена система от конвергентни сили R X = ΣF X =0; R Y = ΣF Y =0; R Z = ΣF Z =0 FX ) + ( FY ) + ( R = F ) =0 ( Z