логаритмична функция
Логаритмичната функция на комплексна променлива z е функция, която е обратна на експоненциалната.
Тъй като експоненциалната функция e z не е еднозначна в C, нейната обратна функция ще бъде многозначна. Тази многозначна логаритмична функция се означава с Ln z. Така, ако w = Ln z, тогава z = e w . Отбележете, че тъй като e z 6= 0; 8z 2 C, тогава Ln 0 не съществува. Да сложим
w = u + iv; z = re i' = re i Arg z;
re i Arg z = z = e w = e u+iv = e u e iv :
Сравнявайки числата отляво и отдясно на тази верига, заключаваме, че
r = e u; e i Arg z = e iv :
От първото равенство намираме u = ln r, където ln r е обичайният натурален логаритъм на положително число r. Второто равенство в (4.15) дава v = Arg z. По този начин,
Ln z = ln jzj + i Arg z:
Формула (4.16) присвоява на всяко комплексно число z, различно от 0 и 1, безкраен набор от стойности Ln z, различаващи се една от друга с 2 ki, където k е всяко цяло число. Удобно е да се представи Arg z във формата
Argz = argz + 2k;
където arg z е основната стойност на аргумента. Тогава формула (4.16) приема формата:
Ln z = ln jzj + i(arg z + 2k); k 2 C:
Пример 4.5. Решете уравнение e 2
За да приведем това число в алгебрична форма, използваме формула (4.17).
2i Ln(2 2i) = 2i (log j2 2ij + i Arg(2 2i)) =
За всяка стойност на k функцията Ln z е непрекъсната еднозначна функция в комплексната равнина с разрез по отрицателната част на реалната ос; тя също е аналитична в тази област като обратна функция на аналитичната функция e z . По този начин, за всяко фиксирано k, формула (4.17) дефинира правилен клон на многозначната функция Ln z. Този клон показваравнина с разрез по отрицателната част на реалната ос в лента
+ 2 k 1 2 в лентата c 1 2 .
За да си представим риманова повърхност на функцията Ln z, ние вземаме безкраен брой екземпляри ("листове") на равнината с разрез по отрицателната част на реалната ос и ги залепваме заедно, както е показано на фиг. 4.14.
Над всяка точка от равнината, с изключение на точките z = 0 и z = 1, има безкрайно много точки от риманова повърхност. В точки 0 и 1 функцията Ln z не е дефинирана и над тях няма повърхностни точки. Точките z = 0 и z = 1 се наричат точки на разклонение от безкраен ред.
Ориз. Фигура 4.14 ясно показва причината, поради която ln( 1 + i 0) 6= ln( 1 i 0). Ако приемем, че точките 1 ih са на един и същи лист от риманова повърхност и оставим h клонящо към нула, тогава граничните позиции 1 + i 0 и 1 i 0 на тези точки ще бъдат на различни листове от риманова повърхност.
Възможно е да се отдели правилният клон на логаритъма не само в областта D, която е равнина с разрез по отрицателната част на реалната ос. Ако направим разрез в равнината по който и да е лъч, тогава полученият участък също позволява избор на правилен клон в него. Нека разрезът се направи по протежение на лъч, който върви под ъгъл спрямо оста OX. Тогава правилните клонове ще бъдат дадени по следната формула: за z = re i' , 0 (z) = z 1 ;
подобна формула за производната на логаритъма на реална променлива. Този факт се извлича от равенството (e z ) 0 = e z и формулата за производната на обратната функция.
4.6. Обща мощностна функция
Общата степенна функция w = z a , където a = + i е фиксирано комплексно число, се определя от отношението
Задавайки z = re i', получаваме Ln z = ln r + i(' + 2 k). следователно
z a = e ( +i )(ln r+i('+2 k)) = e ln r ('+2 k) e i( ('+2 k)+ lnr) :
Това показва, че за 6= 0 функцията jz a j = e ln r ('+2 k) приема безкраен набор от стойности. В този случай се казва, че функцията е безкрайна. Така при 6= 0 функцията z a ще бъде безкрайна.
За = 0 получаваме
z a = e ln r e i ('+2 k) :
Това означава, че стойностите на мощностната функция се различават само в аргументите k = (' + 2 k). Ако рационално число, т.е. може да се представи като несъкратима дроб = m n (m
и n са цели числа), тогава сред k има само n стойности, които определят различни стойности на z a :