Математика на шахматна дъска“ – Автореферат на дисертация
Иркутска градска конференция на учениците от 10-11 клас
„Към света на търсенето, към света на творчеството, към света на науката“
"Математика на шахматна дъска"
Автор: Филипов Руслан
България, Иркутск, Лицей на Московския държавен университет, 11 клас
Научен ръководител: доктор на физико-математическите науки, професор
Иркутски държавен университет Кузмин О.В.
Резюме на курсовата работа………………………………………………….. 3
Глава 1. Пъзели на шахматна дъска ………………………………. . 5
1.1. Парадоксът на шахматната дъска…………………………………….5
1.2. Необичайно доказателство на Питагоровата теорема ………………….. 5
1.3. Покриване на шахматна дъска с кости от домино……………….. 6
1.4. Букви от клетките на шахматната дъска …………..……………….. 7
Глава 2. Задачи на шахматната дъска……………………………………. 8
2.1. Прегради на шахматна дъска……………………………………. 8
2.2. Дъски с нечетен брой клетки……………………………………10
Глава 3. Геометрия на шахматната дъска в завършеците на пешките ……… 1 2
3.2. Скитащ площад ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………1 3
3.4. Метод на триъгълника………………………………………………. 16
за изследователска работа:
"Математика на шахматна дъска"
Курсовата работа е изпълнена в обем от 17 страници машинописен текст. Списъкът с литература включва 6 източника.
Цел на работата: Математиката, подобно на шаха, има доста дълга и богата история, така че изглежда възможно да се анализират общите черти на математиката и шаха, тъй като решаването на проблемите на шахматната игра е математическо упражнение. Шахът, дъската и фигурите постоянно се използват за илюстриране на различни математически концепции и идеи.
Шахът и математиката имат много общи неща. Формите на мислене на математик и шахматист са доста близки. Шахдъските и шахматните фигури отдавна се използват широко в различни видове математически забавления, много от които имат чисто геометрична структура. Важно място, както знаем, заема шахът в информатиката, която е свързана с математиката. В тази работа ще говоря за известните математически задачи и пъзели на шахматната дъска и ще дам техните решения.
Шахът се различава от повечето логически игри по това, че по време на играта възниква много голям брой възможни ходове и е просто невъзможно да се изчислят, като се предвиди резултатът от играта. Но разбира се, има стратегии за игра на шах и има много от тях. Професионалните шахматисти прекарват много време в изучаване на оптимални стратегии.
В моята изследователска работа ще засегна и играта шах и проблемите, свързани с тази игра в нейния обичаен смисъл. Ще говоря за необичайните геометрични свойства на шахматната дъска, за най-простите правила за завършеците на пешките и ще илюстрирам завършеците на пешките с различни примери.
Глава 1 . Пъзели на шахматна дъска
Тази глава се занимава с няколко известни пъзела на шахматна дъска, които са математически по природа.
1.1. Парадоксът на шахматната дъска
Нека мислено да направим някои манипулации с шахматната дъска. Нека го разрежем на четири части, както е показано на фигура 1 (полетата не са специално оцветени) и да направим правоъгълник от тях (фигура 2).
Шахматната дъска се състои от 64 клетки, но полученият правоъгълник е от 65. При разрязването на дъската отнякъде се появи едно допълнително поле!
ключът към парадокса е, че нашите рисунки не са напълно точни. Ако направите чертежа по-точно, тогава вместо диагонала на правоъгълника, ромбовидна, леко удължена фигура сстрани, които изглеждат почти слети. Точно това е "допълнителното" поле.
1.2. Необичайно доказателство на Питагоровата теорема
Сега разгледайте едно любопитно шахматно доказателство на Питагоровата теорема. Долното доказателство е много цветно, живо и ясно доказва, че "Питагоровите панталони са равни във всички посоки."
начертайте квадрат на дъската, в резултат на което той се разделя на пет части: самият квадрат и четири еднакви правоъгълни триъгълника (фиг. 3). Сега нека да разгледаме фигура 4.
Пред нас са същите четири триъгълника и вместо един голям квадрат два по-малки квадрата. Триъгълниците на двете фигури имат еднаква площ, което означава, че останалите части на дъската също имат еднаква площ: един квадрат отгоре, два отдолу. Тъй като големият квадрат е построен върху хипотенузата на правоъгълен триъгълник, а малките квадрати са построени върху неговите катети, заключаваме, че квадратът на хипотенузата е равен на сбора от квадратите на катетите. Питагоровата теорема е доказана.
1.3. Покриване на шахматна дъска с кости от домино
Възможно ли е да се покрие с домино 2x1 квадрат 8x8, от който са изрязани срещуположни ъглови клетки? (фиг. 5).
Би било възможно да се правят скучни математически разсъждения, но шахматното решение е едновременно по-елегантно и по-просто. Нека оцветим нашия пресечен квадрат (на фигурата по-горе) в черно и бяло, превръщайки го в шахматна дъска без ъгловите полета al и b8 (Фигура 6).
При покриване на дъската всяка плочка домино заема едно бяло и едно черно квадратче и следователно целият комплект зарове (в размер на 31 броя) покрива същия брой бели и черни квадратчета. Но на нашата пресечена дъска има две черни полета по-малко от белите (изрязаните полета са черни) и следователно необходимото покритие не съществува! Така че оцветяването на дъската не само помага на шахматистанавигация по време на играта, но също така ви позволява да решавате необичайни пъзели.
1.4. Букви от шахматна дъска.
„Необходимо е да се нареже стъклена шахматна дъска (8x8) на букви, от които би било възможно да се състави някаква фраза.“
Фигура 7 показва как е било възможно да се състави фразата LYCEUM ISU с точки между думите.
Вдясно на Фигура 8 е показана самата шахматна дъска, където линиите показват разрезите, а кръстосаните линии представляват 3 точки и линия над Y. Въпреки че идеалното изречение трябваше да съдържа само една точка, не успях да я получа.
Глава 2
Първоначално полетата на шахматната дъска не бяха алтернативно оцветени в черно и бяло (или други две) и това подобрение беше въведено просто за да помогне на окото при игра. Ползите от такова оцветяване са неоспорими. Например, той улеснява манипулирането на епископи, като ви позволява да видите с един поглед, че нашият цар или пешки на черни полета не са застрашени от вражески епископ, движещ се през бели полета. И все пак оцветяването на шахматната дъска не е от съществено значение за самата игра. По същия начин, когато оформяме пъзели върху шахматна дъска, често е добре да помним, че допълнителен интерес може да бъде „генерализиране“ към случая на дъска с произволен брой клетки или ограничаване на проблема до някаква конфигурация от клетки, не непременно квадратни. По-долу има няколко пъзела от този тип.
2.1. Шахматни деления
„По колко различни начина една шахматна дъска може да бъде разделена на две части с еднаква форма и размер, ако разрезите са направени по границите на клетките?“
Тази задача е едновременно забавна и трудна, така че ще я разгледаме в опростена форма, като вземем по-малка дъска. Очевидно е, че дъска, състояща сеот 4 клетки (2x2) могат да бъдат разделени само по един начин (права линия, минаваща през центъра), тъй като няма да разглеждаме завъртанията и преобразуванията като нови решения. В случай на дъска от 16 квадрата (4x4) има точно 6 начина.
Сега нека вземем по-голяма дъска от 36 клетки (6x6) и се опитаме да определим броя на начините в този случай.
Всеки метод трябва да включва един от петте разфасовки, показани на фигури A, B, C, D и E. За да избегнете повторение при завъртания и съпоставяния, вземете предвид само онези измерения, които започват в точки a, b и c. Но разрезът трябва да завършва в точка, разположена на същата права линия, минаваща през центъра с началната точка. Това е най-важното условие, което трябва да запомните. В случай B не можете да започнете разрязването от a, защото в противен случай ще стигнете до случай E. По същия начин, в случаите C или D не трябва да се приближавате до ключовата линия в същата посока, в която върви самата тя, защото тогава ще получите случаи A или B. Ако продължите по пътя A или C и започнете разрязването от a, тогава, за да избегнете повторения, трябва да имате предвид връзките само в единия край на ключовата линия. В други случаи трябва да вземете предвид връзките в двата края на ключовата линия, но след като преминете a в случай D, винаги завивайте наляво (използвайки само една посока). Фигури 1 и 2 показват примери за случай А; на фигури 3 и 4 - за случай Б; Фигури 5 и 6 са за случай C, а фигура 7 е добър пример за случай D. Разбира се, E е специален тип, който позволява само едно решение, тъй като е очевидно, че не можете да започнете рязане от b или c.