Матрица за сравнение по двойки, изчисление на приоритетни вектори, съгласуваност на матрицата за сравнение по двойки
Матрица за сравнение по двойки
Матрицата за сравнение по двойки е квадратна. За изграждането му в йерархията се разграничават елементи от два типа: елементи - "родители" и елементи - "потомци". Елементите - "потомци" действат върху съответните елементи от по-високо ниво на йерархията, които са по отношение на първите елементи - "родители". Изграждат се матрици от сдвоени сравнения за всички елементи - "потомци", свързани със съответния елемент - "родител". Елементи - "родители" могат да бъдат елементи, принадлежащи към всяко йерархично ниво, с изключение на последното. Сравненията по двойки се правят по отношение на доминирането[26]. Доминирането на един елемент над друг се изразява с помощта на съотношителна скала.
Попълването на квадратните матрици на сдвоени сравнения се извършва съгласно следното правило. Ако елемент A доминира над елемент B, тогава клетката на матрицата, съответстваща на ред A и колона B, се запълва с цяло число, а клетката, съответстваща на ред B и колона A, се запълва с неговото обратно число и обратно, т.е. матрицата е обратно симетрична.
По този начин матрицата на сдвоените сравнения ще приеме формата:
Изчисляване на приоритетен вектор
Ако A е матрицата на стойностите на сдвоените сравнения, тогава, за да намерим вектора на приоритетите, можем да формулираме [27] следния проблем:
Нека докажем, че е така.
Да предположим [27], че -елементи от някакво ниво на йерархията. Нека определим теглата на тяхното влияние върху елемента от следващото ниво. Нека матрицата от стойности, съответстваща на значимостта на елемента , която е обратно симетрична, т.е. По този начин, A-консистентно: .
След това разгледайте матричното уравнение
Където и , което съответства на системата от уравнения:
Което е еквивалентно на израза
В матричната теория тази формула отразява това - собственвектор на матрица A със собствена стойност n. Помислете за следните два факта.
1. ако числата, удовлетворяващи уравнението
Тоест, те са собствени стойности на матрицата A и ако , тогава
Следователно, ако (3) е в сила, тогава всички собствени стойности са нули с изключение на една, която е n. В случай на последователност, n е най-голямата собствена стойност на A.
2. Ако елементите на обратно симетричната матрица A са положителни, се променят леко, тогава собствените стойности също ще се променят леко.
От фактите следва, че ако диагоналът на матрицата A се състои от единици и е последователен, тогава с малки промени в най-голямата собствена стойност остава близо до n, а останалите собствени стойности са близки до нула. Q.E.D.
За положителна квадратна матрица A, собственият вектор , съответстващ на максималната собствена стойност , до постоянен фактор C може да бъде изчислен [2] по формулата
Т-знак на транспониране. Изчисляването на собствения вектор по израз (4) се извършва до достигане на зададената точност.
Максималната собствена стойност се изчислява по формулата:
Съгласуваност на матрицата за сравнение по двойки
В практическите задачи се нарушава хомогенността на преценките, което се свързва с такива човешки качества като умора, невнимание, невежество и др. Съгласуваността на положителна обратно симетрична матрица A е еквивалентна на изискването нейната максимална собствена стойност да е равна на n.
Хомогенността на преценките се оценява чрез индекса на хомогенност (HI)
или съотношението на консистенция (OO)
Където M (IO) е средната стойност (математическо очакване) на индекса на хомогенност. Средната стойност на индекса на хомогенност зависи от реда на матрицата, както е показано в таблица 9.