Матрична степенна серия
Нека има последователност от матрици Ak (k= 1, 2. ) с размерност (h×h). Границата на последователност от матрици Ak е матрицата
Ако границата на матричната последователност съществува, тогава матричната серия е конвергентна. Ако границата не съществува, матричната серия се разминава.
Използвайки концепцията за границата на матрица, можем да въведем матричния степенен ред
. (4.22)
Серия (4.22) се сближава, ако всички собствени стойности на матрицата A са разположени в затворен кръг с радиус на скаларната степенна серия:
, , (4.23)
освен това собствените стойности, лежащи на окръжността, са прости.
Матричната степенна редица се разминава, ако поне една собствена стойност на матрицата A е извън окръжността на сходимост на скаларната степенна редица (4.23) или има собствена стойност на матрицата A, лежаща на окръжността на окръжността на сходимост, за която редицата (4.23) се разминава.
По този начин, за да се сближи матричният степенен ред (4.22) към някаква матрица, е необходимо и достатъчно скаларният ред (4.23) да се сближи в спектъра на матрицата A. Тъй като степенният ред може да бъде диференциран по части произволен брой пъти вътре в кръга на сближаване, редът (4.22) се сближи в спектъра на всяка матрица, чиито собствени стойности попадат в кръга на сближаване ence. Следователно разширяването на функция в степенен ред в кръг остава валидно, ако скаларният елемент се замени с произволна матрица A, всички чиито собствени стойности лежат вътре в кръга на конвергенция с радиус R.
Подробен анализ на сходимостта на матричните степенни редове е даден в по-подробни ръководства. Нека посочим някои от най-важните идентичности, свързващи функциите на скаларния аргумент с матричните стойности на аргумента.
,
за всяка матрица A следва
По същия начин, за всяка матрица A
, Тогава .
Освен това, за всяка матрица A
.
Експоненциалната функция може да бъде представена като:
,
.
Тази серия се сближава равномерно и абсолютно. Умножението на скаларни величини е комутативно, но съответният продукт на експоненциални матрици не може да бъде представен така, сякаш матриците A и B не комутират.
Тригонометричните функции имат формата:
,
,
,
,
.