Метод на Seidel
Метод на Зайдел - раздел Математика, Изчислителни методи на линейната алгебра Нека е необходимо да се реши системата от уравнения (3.1): .
Нека се изисква да се реши системата от уравнения (3.1):
(3,25)
Нека изразим променливатаx1 от първото уравнение,x2 от второто и т.н.:
Некаkтото приближение към решението се означи като . Заместваме го в дясната страна на получената система и изразяваме следното приближение. За разлика от итерационния метод, методът на Seidel използва вече намерените компоненти на вектораxk+1 .
Формулите за изчисляване на метода на Seidel могат да бъдат записани като:
(3,26)
Теорема 3.3 (достатъчни условия за сходимост[1]). Нека за всичкиiкоефициентите на системата от уравнения (3.25) удовлетворяват условията
(3,27)
Тогава методът на Зайдел се сближава и неравенството
, (3,28)
къдетоx * е точното решение на система (3.25).
Ако матрицатаAудовлетворява условието (3.27), тогава казваме, чеA —е матрица с диагонална доминантност.
Пример 3.5. Решете системата от уравнения, като използвате итерационния метод и метода на Seidel. Сравнете степента на конвергенция на методите.
Решение. Очевидно е, че матрицата на коефициента на системата от уравнения има диагонална доминация. Нека изразим съответната променлива от всяко уравнение
и запишете формулите за изчисление на метода на Seidel
Нека въведем в програмата Excel нотация в клеткиA1:D1, начални стойности в клеткиB2:D2 и формули в клеткиB3:D3, както е показано в Таблица 3.4. Изберете диапазонаB3:D3 и плъзнете манипулатора за запълване надолу до клеткаD12. За да изброите последователни приближения, изберете диапазонаA2:A3 и начертайте маркерподпълване до клеткаA12. Получаваме 10 последователни приближения на решението.
| А | б | ° С | д | д |
| к | X1 | X2 | X3 | Грешка |
| =(5-2*C2-D2)/9 | =(6+B3+D2)/7 | =(-3-B3-C3)/9 | =MAX(ABS(B3-B2), ABS(C3-C2), ABS(D3-D2)) |
Резултатите от изчисленията са показани в таблица 3.5. Както можете да видите, има конвергенция на процеса на итерация, тъй като съответните компоненти на векторитеx 9 иx 10 всеки съдържат 8 еднакви значещи цифри, започвайки отляво надясно. Норма за разликаx 10 –x 9 1 = 3,92663E–10
int Zeidel(дълго двойно **a, дълго двойно *b, дълго двойно *x,
дълги двойни eps, int k_max, const int n);
дълго двойно **a; дълго двойно *b, *x, eps; int i,j,n,k_max;
a= ново дълго двойно*[n]; for(i=0;i > a[i][j];
cout > i; // за пауза
Тази тема принадлежи към категорията:
Изчислителни методи на линейната алгебра
Изчислителните методи на линейната алгебра изучават числени методи за решаване на следните проблеми.. решаване на система от линейни алгебрични уравнения на Слау.. изчисляване на детерминанта на квадратна матрица a..
Какво ще правим с получения материал:
Всички теми в този раздел:
Норми на вектори и матрици Нека дадем дефиниции на норми на вектори и матрици [1]. Нека е даден векторът x= (x1, x2, …, xn)T. Най-много час
Решаване на системи от линейни алгебрични уравнения Теоретичните условия за съществуването и уникалността на решенията на системите от линейни уравнения са известни - основният детерминант не трябва да бъде равен на нула. Тогава решението може да се намери по правилото на Крамър
Метод на Гаус за решаване на системи от линейни уравнения Нека се изисква да се решисистема от n линейни алгебрични уравнения с n неизвестни:
Алгоритъм на метода на Гаус с избор на главния елемент по колони 1. За m = 1, 2, …, n – 1, нека извършим трансформации: Нека намерим елемента с максимална абсолютна стойност в m-тата колона. Нека това да е целевият елемент. ЕС
Итеративен метод Записваме системата от уравнения (3.9) във формата Ax = b, (3.21) където A е матрицата на коефициентите и b
Грешка на решението и условност на системата от уравнения Нека разгледаме влиянието на грешката на дясната страна и свойствата на матрицата на системата от линейни уравнения върху грешката на решението. Нека дясната страна на системата е дадена приблизително с грешка η:  
Изчисляване на детерминанта и обратна матрица Изчисляването на детерминанта на матрица е класически пример за проблеми, за които е важно да се намерят ефективни алгоритми. При директно разширяване на детерминанта на квадратна матрица
Собствени стойности и собствени вектори на матрица Нека дадем основните определения и теореми, необходими за решаване на практически проблеми за изчисляване на собствени стойности и собствени вектори на матрици. Определение 3.5. собствен
Метод на вътрешните произведения Разгледайте метода на вътрешните произведения [7] за определяне на най-голямата собствена стойност и съответния собствен вектор на реалната матрица A. Теорема 3.10.
Алгоритъм на метода на скаларните произведения 1. Нека зададем първоначалните приближения: x0 на собствения вектор на матрицата A и y0 = x0 на
Задачи за самостоятелно решаване Решете системата от линейни уравнения Ax = b в електронни таблици по метода на Гаус. Изчислете детерминантата на матрицата A, като използвате метода на Гаус. Намерете обратно