Методи на параболите (Симпсън) и по-високите степени (Нютон
Материал от MachineLearning.
Съдържание
Тази статия описва метод за изчисляване на собствения интеграл на гладка функция с помощта на квадратурни формули. Формулите на Нютон-Котс имат следните характеристики:
- Необходимо условие за сходимостта на този метод е съществуването и ограничеността на производната на функцията (редът на производната зависи от избраната формула)
- Формулите на Нютон-Котс имат висок порядък на точност
- Формулите за поръчка са числено стабилни
Постановка на математическия проблем
Проблемът на численото интегриране е да се намери приблизителна стойност на интеграла
където е функция, дадена и интегрируема на сегмент. Решетка се въвежда върху сегмента и числото
къде са стойностите на функциите във възлите, къде сакоефициенти на тежест, които зависят само от възлите, но не зависят от избора на . Формула (2) се наричаквадратурна формула. Задачата на численото интегриране с помощта на квадратури е да се намерят такива възли и такива тегла, чегрешката на квадратурната формула
беше минимална по абсолютна стойност за функция от даден клас (стойността зависи от гладкостта на ). Грешката зависи както от местоположението на възлите, така и от избора на коефициенти на тежест. Нека въведем равномерна мрежа насъс стъпка, т.е. набор от точки и представя интеграл (1) като сума от интеграли върху частични сегменти:
За да се построи формула за числено интегриране в целия интервал, е достатъчно да се построи квадратурна формула за интеграла
на частичен сегмент и имот за използване (3).
Построяване на квадратурни формули
С оглед на гореизложеното, изчисляването на приблизителната стойност на интеграла се извършва с помощта на квадратурната формула
Тази формула може да бъде намалена до стандартната форма чрез заместване
В общия случай възлите и теглата са неизвестни и предстои да бъдат определени.
Разгледайте случая, когато възлите са дадени и се изисква да се намерят теглата на квадратурната формула. Ще използваме изискването: формула (5) трябва да е точна за всеки полином от степен . За да може полиномът на степента да удовлетвори това изискване, е достатъчно да се изисква квадратурната формула да бъде точна за всеки моном на степен . Като вземем предвид, че , получаваме уравнението
Тази система има уникално решение, тъй като нейната детерминанта е детерминантата на Вандермонд, която е различна от нула, ако няма съвпадащи възли, .
Така, приемайки , имаме система, чието решение е теглатана формулата на Симпсън: . Така формулата на Симпсън е точна за полином от втора степен. Въпреки това, поради симетрия, той е точен и за всички полиноми от трета степен:
тъй като е точно за:
Формулите за триъгълник и трапец са точни за линейна функция, т.е. за полином от първа степен, който е лесен за пряка проверка. В общия случай може да се избере като интерполационен полином на Лагранж
където е коефициентът на интерполация на Лагранж. От равенството
може да се види, че формула (5) е вярна за полином от степен, ако тегловните коефициенти се определят от формулата
Формули от този тип се наричат квадратурниформули на Котс.
Изявление на метода
Приложение на квадратурни формули
Нека се върнем към разглеждането на интеграла (1). Както е показано по-горе, този интеграл се редуцира до интеграла на единичния интервал чрез заместване и следователно е лесно да се обобщят формулитеза приблизителното изчисляване на интеграла на единичен интервал върху произволен. Прилагаме апарата на квадратурните формули. Нека е дадено равномерно разбиване на сегмент със стъпка, където обозначаваме . Нека бъде избрана и някаква квадратурна формула на Нютон-Котс (т.е. степента на полинома е избрана и следователно всеки полином е изграден върху точка на мрежата). Ние също вярваме, че даден набор от точки може да бъде разделен на подмножества от точки със съвпадащи крайности, т.е.
След това, сумирайки стойностите на квадратурите на всяко подмножество, получаваме приблизителна стойност на необходимия интеграл. Ако обозначим тегловните коефициенти, тогава приблизителната стойност на интеграла може да бъде записана като двойна сума
Този алгоритъм естествено се обобщава за случая, когато , където , и на всеки сегмент е зададена равномерна мрежа. Тогава желаният интеграл е равен на
и на всеки отчастичните сегментиприблизителната стойност на интеграла се изчислява с помощта на квадратурни формули.
Примери за квадратурни формули
Нека дадем примери за квадратурни формули на Котс върху равномерна мрежа със стъпка , където означаваме:
Метод Анализ
Квадратурна грешка
Нека функцията има тата непрекъсната производна на интервала , т.е. , - точките, в които е дадена стойността на функцията. Нека се използва квадратурната формула от -ти ред. Представяме ви функцията
Тогава формулата за грешката има следния вид
Това предполага оценката на грешката
когато , където 0" alt= "M_>0" /> е константа и когато
Ако не променя знака на сегмента , тогава по силата на теоремата за средната стойност имаме
Числена устойчивост на квадратурни формули
Имайте предвид, че формулите на Нютон-Котс с се използват рядко поради тяхната числена нестабилност, което води до рязко увеличаване на изчислителната грешка.Причината за тази нестабилност е, че коефициентите на формулите на Нютон-Котс за големи имат различни знаци, а именно, защото има както положителни, така и отрицателни коефициенти.
Помислете за квадратурната сума
Да приемем, че стойностите на функцията, дадени на сегмента, са изчислени с известна грешка, т.е. вместо точната стойност, получаваме приблизителна стойност на . Тогава вместо това получаваме сумата
Тъй като квадратурната формула е точна за , имаме
и не зависи от.
Нека сега приемем, че всички коефициенти са неотрицателни. Тогава от (11) и (12) получаваме оценката
което означава, че като цяло грешката при изчисляване на квадратурната сума (10) е от същия порядък като грешката при изчисляване на функцията. В този случай се казва, че сумата (10) е стабилна.
Ако коефициентите имат различни знаци, тогава може да се окаже, че сумата не е равномерно ограничена в и следователно грешката в изчислението нараства неограничено с увеличаване на . В този случай изчисленията по формула (10) ще бъдат нестабилни и е невъзможно да се използва такава формула за големи стойности.
Числен експеримент
Нека дадем примери за изчисляване на интеграли с помощта на формулите на Нютон-Котс. Реализацията използва езика C++, по-долу е кодът на функцията, която връща приблизителната стойност на интеграла.
Изходен код на функция
Функцията приема 4 параметъра като вход.
двойно а - ляв край на изследвания сегмент
двойно b - десен край на изследвания сегмент
int Degree - степента на използвания полином
int Ndivisions - броя на сегментите, на които е разделен оригиналният. Съвпада със стойността във формулата ( 7 )
f - интегрируема функция
Изчислете по формулите на Котес на градусите1 до 9 интегрална стойност
Ще извършим изчисления, без да разделяме сегмента на частични, тоест използвайки точката, където е степента на полинома. Резултатите са показани в таблицата по-долу. Закръгляването е извършено с точност до 6 знака след десетичната запетая.
Препоръки за програмиста
Автоматичен избор на стъпката на интегриране чрез оценка на последваща грешка по метода на Runge
Стойността на грешката на численото интегриране зависи както от стъпката на мрежата, така и от гладкостта на интегралната функция. Стойността на грешката освен това включва и стойността , която може да варира значително в сегмента и не е известна предварително. За да намалите грешката, можете да прецизирате мрежата върху даден сегмент. Въпреки това е необходимо да се оцени грешката a posteriori. Такава оценка на грешката може да се извършичрез метода Runge. Да разгледаме приложението на някаква квадратурна формула върху частичен сегмент. Нека означим стойността на интеграла върху целия интервал, стойността на интеграла върху -тия частичен сегмент, приблизителната стойност на интеграла върху целия сегмент, получена с помощта на дадената квадратурна формула и равномерна мрежа със стъпка , и приблизителната стойност на интеграла върху -тия частичен сегмент. Нека дадената квадратурна формула върху дадения частичен сегмент има ред на точност, т.е.
където c е някаква константа. Тогава
Нека се използва съставната квадратурна формула
освен това квадратурни формули с еднакъв ред на точност (или, по-специално, една и съща формула) се използват за всички частични сегменти. Нека извършим изчисления на всеки частичен сегмент два пъти - веднъж със стъпка, втори път със стъпка и апостериорно оценим грешката според правилото на Рунге ( 14 ). Ако за даден
ще бъде постигната определената точност
Ако на някои от частичните сегменти оценка (15) не е изпълнена, тогава стъпката на този сегмент трябва да бъде намалена с фактор две и грешката трябва да бъде преоценена. Усъвършенстването на мрежата на този сегмент трябва да се извърши, докато се достигне оценката на формуляра (15). Имайте предвид, че за някои функции подобно усъвършенстване може да продължи твърде дълго. Следователно в съответната програма трябва да се предвиди горна граница на броя на смиланията.
По този начин автоматичният избор на стъпката на интегриране води до факта, че интегрирането се извършва с голяма стъпка в областите на плавна промяна на функцията и с малка стъпка в областите на бърза промяна. Това позволява с дадена точност
Заключение
Формулите на Симпсън и Нютон-Коутс са добър инструмент за изчисляване на определен интеграл на функция, която е непрекъснато диференцируема достатъчен брой пъти. Използвайки формулите от -ти ред като пример, виждаме, че с ограничена производна от -ти ред, точността на формулите е