Метрична геометрия
Математика, физика, компютърни науки, машинно обучение, LaTeX, механика и инженерство, химия,биология и медицина, икономика и финансова математика, хуманитарни науки| Вход Регистрация | Дарете ЧЗВ Правила Търсене |
Правила на форума
Не можете да създавате нови теми в този раздел.
Ако искате да зададете нов въпрос, тогава не го добавяйте към съществуваща тема, а създайте нова в основната секция „Помогнете за решаването / разгадайте го (M)“.
Ако зададете нов въпрос в съществуваща тема, тогава в случай на нарушение на дизайна или други правила на форума, вашето съобщение и всички отговори към него могат да бъдат изтрити без предупреждение.
Не търсете безплатни в този форум, правилата забраняват на участниците да публикуват готови решения на стандартни учебни задачи. Авторът на въпроса е длъжен да даде своите опити за решаване и да посочи конкретни трудности.
Защо съществува само една ротационно-инвариантна метрика? Защото такава е природата на нещата?
В книгата на Поанкаре „За науката“ той прочете, че например механиката може да се изгради въз основа на всякаква геометрия (Евклидова, върху сфера, Лобачевски и т.н.) и нищо не трябва да се променя от това, освен че изчисленията ще бъдат по-трудни. (Разбира се, Лагранж изгради механика без геометрия, но все пак.)
| арсений |
| екситон |
В две измерения всеки знае ротационната матрица. В три измерения също (може да се състави например от косинуси и синуси от ъгли на Ойлер). Така че, когато тези матрици действат върху вектор, се получава някакъв друг вектор и неговата дължина се съхранява само в метриката на Ойлер. Чудя се защо е така.
| арсенив |
| екситон |
Глоба. Съгласен съм.
В този случай се оказва, че ако внезапно един ден по някаква неизвестна причина този показател изчезне, ще можем да изградим цялата наука наново върху който и да е друг?
| алкохолист |
| Стан Слапенарски |
Както ми се струва.
Физическа метрика, в смисъла, за който питате, се определя от процедурата на измерване, т.е. конвенция по кои сегменти се считат за равни или чрез преместване на стандарта за дължина - твърд прът.
Адолф Грюнбаум се занимава подробно с такива въпроси в първата част на „Философски проблеми на метриката на пространството и времето“ (особено в първата й глава „Пространство и времева конгруентност във физиката.“) от книгата си „Философски проблеми на пространството и времето“.
По отношение на математическата страна, можете да прегледате глава VI „Групово-теоретични принципи на геометрията. Групи на преобразуване“ на книгата „Висша геометрия“ на Николай Владимирович Ефимов.
На въпроса „Ще има ли априорно изискване всички трансформации на групата (генерирани от всички евклидови ротации като трансформации на пространството) да бъдат изометрии, дефинирайте -инвариантна метрика до умножение до константа?“ Отговорът е не, тъй като всяка композиция на -инвариантна метрика с функция, така че тя също да е метрика (например ), също ще бъде -инвариантна метрика. Но ако добавим условието, че следата на метриката на линията (поне на една линия) е афинна, (т.е. ако точката е между точките и линията, тогава ), тогава отговорът е положителен. Наистина, първо, използвайки линейността на метриката на линията, можем да определим нейните стойности уникално до умножение до константа в „рационалните“ точки на линията (ако и са сегменти на линията, така че , тогава , тъй като има въртене (по отношение на точката, превръщайки сегмента в сегмента). От подмножеството на „рационалните“ точки на линията, метриката се простира уникално чрез непрекъснатост до цялата линия (непрекъснатостта ността на метриката на линията следва от факта, че дветочки в пространството, които са на разстояние не повече от , могат да бъдат свързани с двузвенна прекъсната линия от сегменти с рационална дължина не повече от ). Сега разгледайте произволен сегмент в пространството. Като завъртим сегмент около средата му, можем да преобразуваме сегмента в сегмент, успореден на права линия. След това чрез завъртане на 180 градуса около средата на перпендикуляра, пуснат от точката към правата, можем да преведем отсечката в отсечка.