Олимпиада по математика-2013г
Тази задача беше решена от ученици от 5 клас на училищния етап на Общобългарската олимпиада по математика 2013-2014 г. в Москва.
Задачата
Снежанка влезе в стая с 30 стола около кръгла маса. На някои от столовете седяха джуджета. Оказа се, че Снежанка не може да седне без някой да седне до нея. Какъв е най-малкият брой гноми, които могат да бъдат на масата?
(Обяснете как е трябвало да седят джуджетата и защо, ако имаше по-малко джуджета, Снежанка ще намери стол, до който никой не сяда).
Решението на проблема
Всяко джудже може да направи 3 стола недостъпни за Снежанка - този, на който седи, както и столовете отдясно и отляво. Следователно най-малкият брой гноми е 30: 3 = 10. Джуджетата могат да седят например на столове с номера 3, 6, 9, ... 30 - всеки два стола на третия. При тази подредба всеки празен стол е до заетия (или отдясно, или отляво).
Нека докажем, че с по-малък брой джуджета Снежанка ще намери празен стол без съседи. Нека на масата има 9 гнома.Нека назначим който и да е гном за старши и да започнем да броим столовете от него - тоест "старшият" гном седи на стол номер 1. В същото време Снежанка вече няма да може да заема столове No30 и No2. Следващото джудже не трябва да седи по-далеч от стол номер 4, в противен случай Снежанка ще седне на стол номер 3 - а до нея и двата съседни стола - номер 2 и номер 4 - ще бъдат свободни. Разсъждавайки по подобен начин, стигаме до извода, че третото джудже ще седне на стол No7, четвъртото на стол No10 и т.н. Деветото джудже ще получи стол номер 25. А това означава, че Снежанка ще има на разположение столове № 27, 28 и 29, на всеки от които ще може да седи без съседи отстрани.
Подобни олимпиадни задачи решавам с ученици3-ти и 4-ти клас в математически кръжок в Нови Черемушки.
Смятате ли тази страница за полезна? Покажете го на вашите приятели и познати!
Ще бъда благодарен, ако изпратите линка на вашите приятели - тези, които може да се нуждаят от информация относно подготовката за влизане в силни училища и участие в математически олимпиади