Основна функция - Хамилтън - Голямата енциклопедия на нефта и газа, статия, страница 2

Основна функция - Хамилтън

Докато трансформацията на Якоби превръща изоенергийните повърхности в равнини и линиите на движение в прави линии, трансформацията, генерирана от главната функция на Хамилтън, е от напълно различно естество. Осъществява се в рамките на изоенергийната повърхност НЕ и има дегенеративен характер. Движението тук се появява като следствие от факта, че трансформацията превръща точката в линия, а това от своя страна е причинено от изчезването на функционалната детерминанта. [16]

Ако във формулите (64) на теорията на трансформациите на контакта в x и p заменим навсякъде x Xit Pi, P q, съответно, чрез ai; qit - 6b pr, S, тогава формулите (64) ще преминат във формулите, които определят интегралите на каноничната система чрез основната функция на Хамилтън. [17]

Главната функция на Хамилтън не е абстрактна математическа концепция, която се използва само за получаване на специални видове трансформации; има определен физически смисъл. За да обясним хода на разсъжденията на Хамилтън, нека започнем с една консервативна система, за която функцията на Лагранж L и функцията на Хамилтън H не зависят изрично от времето. Точно такива функции се срещат в оптиката и това е за Хамилтън отправната точка както за оптиката, така и за механиката. Обобщението за случая на неконсервативни системи може да се направи много просто: проблемът се свежда до случая на консервативни системи чрез включване на времето t в броя на механичните променливи. [18]

Тази Хамилтонова интеграционна схема е опростена и подобрена от Якоби. Основната функция на Хамилтън трябва да удовлетворява едновременно две частни диференциални уравнения. Решението на този проблем е почти невъзможно без по-широката интеграционна схема, предложена от Якоби. [19]

С изключениеОсвен това трябва да отбележа, че най-педантичните и педантични хора не наричат 5-то действие. Тя е посочена като първата основна функция на Хамилтън. [20]

В резултат на това обаче възниква порочен кръг: за да напишете окончателните уравнения на движението (закона на движението), е необходима функцията W, а за да съставите тази функция, трябва да знаете окончателните уравнения на движението. Дефиницията на пълния интеграл под формата на главната функция на Хамилтон за намиране на закона на движение е непредикативна по отношение на решението с дадени начални условия, което се намира с помощта на пълния интеграл под формата на главната функция на Хамилтон. [21]

Полученото уравнение се нарича уравнение на Хамилтън-Якоби. Това е частично диференциално уравнение и определя зависимостта на желаната генерираща функция от 7b -, Rn, t - Решението на уравнение (9.3) обикновено се означава с 5 и се нарича основна функция на Хамилтън. [23]

Това е вярно, ако приемем, че основната задача на механиката е само да интегрира уравненията на движението. Но такава ограничена гледна точка би била несправедливост към широкообхватните изследвания на Хамилтън. Наистина е невъзможно да се използва директно основната функция на Хамилтън и трябва да се прибегне до метода на Якоби, но въпреки това основната функция на Хамилтън остава важна и интересна функция ислужи за много по-дълбока цел от простото интегриране на каноничните уравнения. Следователно сравнението на W-функцията на Хамилтън с S-функцията на Якоби заслужава да бъде обсъдено. След като сме разбрали всички тънкости на теорията на Хамилтън, ще стигнем до извода, че в теорията на Хамилтън две частични диференциални уравнения са толкова необходими и естествени, колкото едно уравнение в теорията на Якоби. [24]

През всяка точка на многообразието M ще има една крива, която се подчинява на уравненията на Хамилтън. Разпоредбите на теорията на сензорните трансформации показват, че колекторът M1 се получава от колектора M чрез непрекъснато протичаща сензорна трансформация. Насочващата функция на тази трансформация е основната функция на Хамилтън. [25]

Това е вярно, ако приемем, че основната задача на механиката е само да интегрира уравненията на движението. Но такава ограничена гледна точка би била несправедливост към широкообхватните изследвания на Хамилтън. Наистина е невъзможно да се използва директно главната функция на Хамилтън и трябва да се прибегне до метода на Якоби, но въпреки това главната функция на Хамилтън остава важна и интересна функция и служи на много по-дълбоки цели от обикновеното интегриране на канонични уравнения. Следователно сравнението на W-функцията на Хамилтън с S-функцията на Якоби заслужава да бъде обсъдено. След като сме разбрали всички тънкости на теорията на Хамилтън, ще стигнем до извода, че в теорията на Хамилтън две частични диференциални уравнения са толкова необходими и естествени, колкото едно уравнение в теорията на Якоби. [26]

Докато генериращата функция на канонична трансформация е чисто математическа концепция, Хамилтън въвежда основна функция, тясно свързана с интеграла на действието. В неговата геометричнатълкуването на тази функция има ясен смисъл. Той определя разстоянието между две точки в подходящо дефинирано метрично пространство, като същевременно е функция на координатите на двете точки. Основната функция на Хамилтън е генериращата функция на тази конкретна канонична трансформация, която свързва две състояния на фазовия флуид, принадлежащи към два различни момента от времето, и ги свързва директно, без помощта на междинна външна точка. [27]

На Якобн може да се придаде просто геометрично значение: изисква се да се определят най-късите (геодезични) линии в някакво риманово пространство. В този случай всъщност получихме дължината на дъгата на геодезическата линия между две точки M и N, или по-просто разстоянието между точките M и N. Това разстояние, очевидно, е функция на qt координатите на двете крайни точки M и N. Така, изразено чрез координатите на двете крайни точки, това разстояние е основната функция на Хамилтън. Очевидно, всеки две точки qlt. [28]