Основни видове устойчивост
Въвежда се понятието ε-околност на невъзмущеното движение, за което се разглежда траекторията на невъзмущеното движениеM0Mи се построява криволинеен цилиндър с радиус ε, чиято ос е тази траектория. Траекторията на възмущеното движение се отклонява малко от траекторията на невъзмущеното движение, ако лежи изцяло в малка ε-околост на невъзмущеното движение (фиг. 14.2а).
Устойчивосттае свойство на движението, което има качествен характер. Следователно само възможността за избор на толкова малък η е важна, така че кривата на смущеното движение да не напуска ε-окръжността на невъзмущеното движение. Ако такава възможност съществува, тогава движението е стабилно, ако липсва, то е нестабилно.
Ориз. 14.2. Към концепцията за устойчивост:
а) орбитална стабилност; б) асимптотична устойчивост
Системата е орбитално стабилна, ако за всяко ε може да се избере такава стойност на η в изразаyi0 −y′i0 0 може да се посочи числото η=η(ε) > 0 така, че отyi0 −y′i0t0. Тоест, движението е стабилно, ако с достатъчно малко първоначално изместванеyi0 −y′i0, точкатаM'в последващото движение е достатъчно близо доM(фиг. 14.2a). Ако такова η(ε) не може да бъде избрано, тогава движението е нестабилно.
Ако при движението си в пространството точкитеMиM¢се приближават неограничено една към друга и разликите на техните координати (yi−yi′) ® 0, тогава възмущеното движение постепенно се връща към невъзмущеното. Твърди се, че едно движение е асимптотично стабилно, ако е възможно да се избере η така, чеy0 −y′0