Параметричната повърхност е
Точка и база от два неколинеарни вектора в триизмерното пространство определят равнина и картографиране върху нея на двумерна декартова координатна система. Това дефинираuv-параметризацията на равнината (uиv- параметри):
- Плосък N-ъгълник
В общия случай параметризацията в N-ъгълника може да се въведе чрез системата от барицентрични координати.
Този най-важен частен случай на N-gon заслужава специално внимание. Най-често срещаният начин за параметризиране на триъгълник е линейно нанасяне на триъгълник отuv-пространство върху него.
За параметризиране на сфера най-удобно е да използвате едноименната координатна система:
.
- Цилиндър
.
Криви повърхности
Подреден набор от 4 точки в пространството дефинирабилинейна интерполационна повърхности картографира квадрат върху нея:
Тази повърхност егладка, но невъзможността за задаване на произволни допирателни на нейната граница я прави практически неприложима като лепенки
В практиката се използват основно два типа повърхнини на Безие:бикубични от 3-ти ред- четириъгълник, дефиниран от 16 точки, ибарицентричен от 3-ти ред- триъгълник, дефиниран от 10 точки. Барицентричната координатна система в триъгълник съдържа 3 числа, така че не винаги е удобна.
Границата на повърхността на Безие се състои от криви на Безие. Точките, които определят повърхността, определят и кривите на нейните граници, включително нормалите върху тях. Това ви позволява да създаватегладки съставни повърхности, т.е. да използвате повърхности на Безие като кръпки
Рационалната повърхност на Безиее различна по това, че всяка точка в нейнатана дефиницията се приписва определена „тежест“, която определя степента на нейното влияние върху формата на повърхността.
На практика обикновено се използватбикубични B-сплайн повърхности. Подобно наповърхностите на Безие, те се определят от 16 точки, но обикновено не минават през тези точки. B-сплайновете обаче са удобни за използване като кръпки, тъй като те пасват добре един с друг, когато използвате обща върхова мрежа, а самите върхове ви позволяват изрично да задавате нормали и допирателни на границите на кръпките.
При необходимост от по-гъвкаво управление на формата на повърхността се използватрационални B-сплайни,нехомогенни B-сплайнове, както и комбинирана версия -нехомогенни рационални B-сплайнове(NURBS).
Свойства на параметричните повърхнини
Позволявам . Тогава:
- Нормалата в точка на повърхността се определя от:
- Допирателната равнина в дадена точка може да бъде описана с уравнението:
- Площта на параметрично определена повърхност се изчислява по формулите:
, Където