Поле (алгебра)

Полев общата алгебра е множество, за чиито елементи са дефинирани операциите събиране, приемане на противоположна стойност, умножение и деление (с изключение на делене на нула), като свойствата на тези операции са близки до тези на обикновените числови операции. Най-простото поле е полето на рационалните числа (дроби). Въпреки че имената на операциите на полетата са взети от аритметиката, трябва да имате предвид, че елементите на полетата не са непременно числа и дефинициите на операциите може да са далеч от аритметиката.

Съдържание

В рамките на концепцията за поле Галоа имплицитно работи през 1830 г., използвайки идеята за алгебрично разширение на поле, той успява да намери необходимо и достатъчно условие уравнение в една променлива да бъде решено в радикали. По-късно, с помощта на теорията на Галоа, беше доказана невъзможността за решаване на такива класически проблеми като квадратура на окръжност, трисекция на ъгъл и удвояване на куб. Изричното въвеждане на концепцията за поле се приписва на Дедекинд (първоначално под името "рационална област", терминът "поле" е въведен през 1871 г.). Като най-близка от всички общи алгебрични абстракции до обикновените числа, полето се използва в линейната алгебра като структура, която универсализира концепцията за скалар, а основната структура на линейната алгебра, линейното пространство, се определя като конструкция върху произволно поле. Също така теорията на полето до голяма степен формира инструменталната основа на такива раздели като алгебрична геометрия и алгебрична теория на числата.

Аксиоми 1-7 и 9 са дефиницията на комутативен пръстен с единица.

Елиминирайки аксиомата за комутативност на умножението, получаваме определението за разделителен пръстен.

Във връзка с други структури (исторически възникващи по-късно), полето може да се дефинира като комутативен пръстен, който е разделителен пръстен. Йерархияструктурите са както следва:

Над полетата основните общи алгебрични дефиниции се въвеждат по естествен начин:подполее подмножество, което само по себе си е поле по отношение на ограничението на операциите от основното поле към него, разширение е поле, съдържащо даденото като подполе.

Ако такова число не съществува, тогава характеристиката се счита за равна на нула. Задачата за определяне на характеристиката обикновено се решава с помощта на концепцията запросто поле- поле, което не съдържа собствени подполета, поради факта, че всяко поле съдържа точно едно от простите полета.

Полетата на Галоа са полета, състоящи се от краен брой елементи. Кръстен на техния първи изследовател, Еварист Галоа.

  • Характеристиката на едно поле винаги е 0 или просто число.
  • Поле с характеристика 0 съдържа подполе, изоморфно на полето от рационални числа Q > .
  • Полето на основна характеристика p съдържа подполе, изоморфно на остатъчното поле Z p _

    > .

  • Броят на елементите в крайното поле винаги е p n > - степени на просто число.
  • Освен това, за всяко число от формата p n>gt; има уникално (до изоморфизъм) поле от p n > елементи, обикновено означавани F p n _>> .
  • В полето няма делители на нула.
  • Всяка крайна подгрупа на мултипликативна полева група е циклична. По-специално, мултипликативната група от ненулеви елементи на крайно поле F q _> изоморфен на Z q − 1 _> .
  • От гледна точка на алгебричната геометрия полетата са точки, тъй като техният спектър се състои точно от една точка – идеала. Наистина, полето не съдържа други правилни идеали: ако ненулев елемент принадлежи на идеал, тогава всички негови кратни, тоест цялото поле, са в идеала. Обратно, комутативен пръстен, некоето е поле, съдържа необратим (и ненулев) елементa. Тогава главният идеал, генериран отa, не съвпада с целия пръстен и се съдържа в някакъв максимален (и следователно прост) идеал, което означава, че спектърът на този пръстен съдържа поне две точки.

    • Полета с характеристика, равна на 0

    • Q> - рационални числа,
    • R> - реални числа,
    • C> - комплексни числа,
    • A са алгебрични числа над полето от рационални числа (подполе в полето C>).
    • Числа от формата a + b 2 >> , a , b ∈ Q > , спрямо обичайните операции събиране и умножение. Това е един пример за квадратично поле, което образува подполе в R>gt; .
    • F(x)(x)> е полето от рационални функции във формата f ( x ) / g ( x ), където f и g са полиноми върху някакво поле F>gt; (в този случай g ≠ 0 и f и g нямат общи делители, освен константите).

    Полета с ненулева характеристика

    Всяко крайно поле има характеристика, различна от нула. Крайни примери за полета:

    Има примери за безкрайни полета с ненулева характеристика.