Празнина (математика)
Интервал[1] , или по-точноинтервал на числова линияе набор от реални числа, който има свойството, че заедно с произволни две числа съдържа всяко едно между тях [2] . Използвайки логически символи, тази дефиниция може да бъде написана както следва: X ⊂ R > интервал, ако
∀ x ∀ y ∀ z ( ( x ∈ X ) ∧ ( z ∈ X ) ∧ ( x y z ) ⇒ y ∈ X ). (x\in X)\клин (z\in X)\клин (x
Следните набори са примери за пропуски:
0\>,&X_&=\ \двоеточие x X 1 = < x ∈ R : 0 ⩽ x ⩽ 1 >, X 2 = < x ∈ R : 0 ⩽ x 1 >, X 3 = < x ∈ R : 0 x ≤ 1 >, X 4 = < x ∈ R : 0 x 1 >, X 5 = < x ∈ R : x >0 > , X 6 = < x ∈ R : x 1 >, X 7 = R , X 8 = ∅ . X_&=\ \колония 0\leqslant x\leqslant 1\>,&X_&=\ \колония 0\leqslant x 0\>,&X_&=\ \колония x 0\>,&X_&=\ \колония x
Съдържание
се наричат полусегменти(незавършени до сегмент) илиполуинтервали.
Дължинатана празнината във всички случаи е числото b − a .
[ a , + ∞ ) , ( a , + ∞ ) , ( − ∞ , b ] , ( − ∞ , b ) , ( − ∞ , + ∞ ) .
За разширената числова ос се въвеждат и понятията интервали – отсечки, интервали, полуинтервали [1] . За разлика от съответните интервали на реалната линия, те могат да съдържат елементите ± ∞ . Например ( a , + ∞ ] = ( a , + ∞ ) ∪ < + ∞ >>> .
на български думитеинтервалиинтервалотговарят на една английска дума interval . В англоезичната литература [4] и в преводите на чужди книги, както и в някои други книги на български, се използва следната терминология:
Тоест различни видовеинтервали.
В по-стари българоезичниВ литературата [5] вместо „интервал” се използва думатаинтервал:затворен интервал,отворен интервал,полуотворен(илиполузатворен)интервал.
Въпреки това, особено в учебната литература, където има най-много теореми за функции върху компактни множества, за предпочитане е затворен интервал да има отделно име с една дума -сегмент[3] (терминът "сегмент" има по-скоро геометрична конотация, като "интервал от числовата права"). В този случай терминът "интервал" се присвоява само на отворената празнина.
Вижте също отворени и затворени множества.
Теорема за междинна стойност
Добре известната теорема на Болцано-Коши за междинните стойности на непрекъсната функция гласи: изображението на всеки интервал при непрекъснато картографиране отново е интервал. Както следва от обобщението на тази теорема за случая на произволни топологични пространства, тази теорема е следствие от факта, че интервалите са точно свързани подмножества на R>gt; . Вижте свързаните комплекти по-долу.
Интервални операции
На практика интервалът често характеризира диапазона от възможни стойности (приблизително) на измерената стойност. Върху множеството от такива интервали могат да се дефинират аритметични операции. Тогава резултатът от изчисленията върху количествата може да бъде свързан със съответните изчисления върху техните интервали, които в крайна сметка определят интервала от възможни стойности за резултата.
Интервалите на числовата права, правоъгълниците в равнината, правоъгълните паралелепипеди в пространството и т.н. са отправна точка в теорията на мярката, тъй като те са най-простите множества, чиято мярка (дължина, площ, обем и т.н.) е лесна за определяне.
Свързани комплекти
Концепцията е обобщение на интервала на числовата оссвързано топологично пространство. На реалната линия всяко свързано множество е празнина и обратно, всяка празнина е свързано множество.
Изпъкнали множества
Друго обобщение на концепцията за интервал от реална права е концепцията за изпъкнало множество.
Пропуски в частично подредени множества
В най-общия случай понятието интервал може да се въведе на всяко множество, на което е въведено отношението на реда