ПРОЕКТИВНА ГЕОМЕТРИЯ - Речник на Collier - български
клон на геометрията, който изучава проективните свойства на фигурите. Тя се различава от евклидовата геометрия по това, че не използва концепциите за успоредност, перпендикулярност и равенство на сегменти и ъгли и се приема, че всеки две прави в равнината имат обща точка. Тясно свързана с перспективата, проективната геометрия на равнината се занимава с изучаването на свойства и връзки, които остават непроменени, когато равнинна фигура се проектира върху друга равнина.
Тези, които са изучавали само евклидова геометрия, смятат за очевидно, че две прави, лежащи в една равнина и имащи общ перпендикуляр, са успоредни, т.е. няма да се пресичат, колкото и да ги разширим. Но ако погледнем например железопътни линии, които са успоредни линии, определено ни се струва, че те се пресичат на хоризонта. Ако приемем, че всеки две прави се пресичат, получаваме система от твърдения, която е толкова логически последователна, колкото системата от твърдения на Евклидовата геометрия, която е различна от нея (вижте също ГЕОМЕТРИЯ; НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ).
Може да се очаква, че геометрията без окръжности, разстояния, ъгли и успоредност ще бъде по-бедна от евклидовата геометрия. Етимологично изглежда странно, че може да има геометрия, която не се занимава с измервания (в края на краищата самата дума "геометрия" идва от гръцката дума, означаваща измерване на земята). Но в действителност възниква много красива и сложна система с теореми, за които Евклид дори не можеше да се сети, тъй като фокусът му върху измерването го отведе в съвсем различна посока. Но самият преход от аксиомите и най-простите теореми към „интересните“ теореми на проективната геометрия напомня по дух, ако не и в детайли, работата на Евклид.
самомалко от тези неметрични твърдения са били известни до 1425 г., когато художникът Брунелески започва да работи върху теорията на перспективата, систематизирана няколко години по-късно в трактата на Алберти. След това би било естествено да се премине към изграждането на проективна геометрия за три измерения, но скоро стана ясно, че дори две измерения са напълно достатъчни, за да привлекат вниманието на математиците към проблемите на проективната геометрия за дълго време. Плоската проективна геометрия се занимава с изучаването на геометрични свойства, които не се променят при централна проекция. Пример за такава проекция е сянката от абажур, падаща върху стената или пода. Обикновено светлинното петно е кръгло или елипсовидно на пода и хиперболично на стената. По този начин в проективната геометрия няма познато разграничение между кръг, елипса, парабола и хипербола; те са просто конични сечения, подобни един на друг. Ако художник нарисува плочки върху вертикално платно, квадратните плочки вече не изглеждат като квадрати, т.к. техните страни и ъгли са изкривени, но линиите, върху които лежат страните, остават прави. Следователно проективната геометрия се занимава с триъгълници, четириъгълници и т.н., но не и с правоъгълни триъгълници, успоредници и т.н. Вижте също КОНИЧНИ СЕЧЕНИЯ.
Дефиниции. Основните понятия, които не е необходимо да се дефинират, ще бъдат "точка", "права" и връзката "инцидент". Ако точка P и права l са инцидентни, казваме, че точката P "лежи" на правата l или че правата l "минава през" точката P. Ако правата l минава през две точки P и Q, тогава казваме, че l ги "свързва" и пишем l = PQ. Ако точка P лежи на прави l и m, казваме, че тези прави се "пресичат" в P и пишем P = l?m. Три или повече точки на една и съща линиянаречен "колинеарен". Три или повече прави, минаващи през една и съща точка, се наричат "пресичащи се в една точка". След като въведем концепцията за равнина (виж по-долу), можем да използваме подобни термини за пространствени понятия: ако равнина ? минава през два реда l и m, казваме, че ги "свързва", и пишем ? =lm; ако правата l лежи в равнините ? и ?, казваме, че тези равнини се "пресичат" по правата l, и пишем l = .
"Триъгълникът" ABC се състои от три неколинеарни точки A, B, C, наречени негови "върхове", и три прави линии BC, CA, AB, които ги свързват, наречени негови "страни". „Равнината“ ABC се състои от всички точки, които лежат на прави, свързващи C с точки от AB, и всички прави, свързващи двойки различни точки, конструирани по този начин. Ако четири точки на равнината са свързани по двойки с шест различни прави, тогава те се наричат върхове на "пълен четири връх" (фиг. 1), а съответните линии служат като негови шест страни. Две страни се наричат "противоположни", ако нямат общ връх. Точката, в която се пресичат две противоположни страни, се нарича "диагонална точка".
Ако подвижната точка X е на една и съща неподвижна линия и подвижната точка X? от другата съответстват една на друга, така че линията XX? винаги минава през неподвижната точка O, ще пишем
и кажете, че между движещите се точки X и X? или, по-точно, между "области на промяна" на точките X и X?, които са две "участъци" от "снопа" от прави, минаващи през O, има проективно съответствие с центъра в точката O. По-общо, ако точките X и X. на дадени (не непременно различни) прави са свързани помежду си чрез поредица от последователни перспективни съответствия
тогава пишем
и ние казваме товаима непрекъснато съответствие между X и X. или че X е картографирано проективно в X.
Точка, съответстваща на себе си, се нарича "инвариантна".
Аксиоми. След тези предварителни дефиниции ние сме в състояние да заявим следните девет аксиоми:
I. Има поне две различни точки.
II. Всякакви две различни точки A и B лежат на една права (а именно права AB).
III. Ако A и B са различни точки, тогава има поне една точка на правата AB, различна от A и B.
IV. Ако A и B са различни точки, то има поне една точка, която не лежи на правата AB.
V. Ако A, B, C са три неколинеарни точки и D е точка, лежаща на BC и различна от B и C, и E е точка, лежаща на CA и различна от C и A, тогава съществува точка F, лежаща на AB, така че точките D, E, F да са колинеарни.
VI. Трите диагонални точки на всеки пълен четири върха са неколинеарни.
VII. Има поне една точка, която не лежи в равнината ABC.
VIII. Всякакви две различни равнини се пресичат по права линия.
IX. Ако има три различни точки на права, всяка от които е инвариантна спрямо проективно съответствие, тогава всяка точка от тази линия също е инвариантна спрямо това съответствие.
Бележки към аксиомите. Всичко по-горе изглежда интуитивно очевидно, докато стигнем до аксиома V, която изключва възможността правите AB и DE да не се пресичат поради техния паралелизъм. Тази аксиома дава възможност да се дефинира равнината ABC чрез прост трик за свързване на точка C към всички точки на правата AB. Аксиома VI също се оказва полезна, въпреки че има някои странни геометрии, в които тя се отрича. Аксиома VII правиразглежданото пространство е триизмерно и Аксиома VIII не позволява то да стане четириизмерно. Мотивацията за въвеждане на аксиома IX ще стане ясна по-късно.
Теорема на Дезарг. Ако съответните върхове на два триъгълника са свързани с прави линии, пресичащи се в една точка, тогава съответните им страни се пресичат в три колинеарни точки. Обратно, ако съответните страни се пресичат в колинеарни точки, тогава линиите, свързващи съответните върхове, се пресичат в една точка.
На фиг. 2 виждате тази известна теорема, приложена към триъгълници PQR, P?Q?R?, в които линиите, свързващи съответните върхове, се пресичат в точка O. Теоремата на Дезарг е почти очевидна, ако два триъгълника лежат в различни равнини; наистина, в този случай точките
лежат в равнината PQR, както и в равнината P?Q?R?; така че всички те лежат на линията PQR?P?Q?R?. Случаят на два триъгълника, лежащи в една и съща равнина, се свежда до предишния чрез малко по-дълъг аргумент, използващ две нови точки на правата през O извън равнината на триъгълниците.
Основна теорема на проективната геометрия. Проективното съответствие между две прави (т.е. между точките на тези прави) се определя еднозначно чрез определяне на три точки на едната права и съответните три точки на другата.
Основната теорема следва от аксиома IX, ако установим верига от перспективни съответствия, свързващи две дадени триади от колинеарни точки. Ако две триади точки са разположени на различни прави, както на фиг. 2, тогава две съвпадения в перспектива са достатъчни. Ако и двете триади са на една и съща линия, тогава е необходимо съвпадение на трета перспектива, за да се създаде друга триада, която не лежи на същата линия.
проективнасъответствие между различни линии е еквивалентно на едно перспективно съответствие само когато точката, в която тези линии се пресичат, е инвариантна.
Класификация на проективните съответствия на правата. Аксиома IX показва, че проективното съответствие на една линия не може да има повече от две инвариантни точки; в противен случай то се изражда в съответствие на идентичността, което се свързва с всяка точка. Проективното съответствие се нарича "елиптично", "параболично" или "хиперболично", в зависимост от това дали броят на инвариантните точки е 0, 1 или 2. Ако се използват координати, тогава инвариантните точки се появяват като корени на квадратни уравнения; по този начин в сложната геометрия не се срещат елиптични проективни съответствия, но в реалната геометрия проективното съответствие
Ако при проективно съответствие някаква точка X от правата отива в точката X?, а точката X? отива към X, тогава за всяка друга точка Y, отиваща към Y?, Y? отива към Y; такова съответствие, което разменя точките във всяка двойка точки, преминаващи една в друга, се нарича инволюция.
Колинеации и корелации. Проективното съответствие може да се опише като вид едномерна трансформация. Има два двуизмерни двойника. Колинеацията е проективно съответствие, при което точките, лежащи на права, преминават към точки, също лежащи на права. Корелацията е проективно съответствие, при което всеки три точки, лежащи на една права, съответстват на три прави, минаващи през една точка, а на всеки три прави, минаващи през една и съща точка, съответстват три точки, лежащи на една и съща права.