Раздел 94

Електронен учебник по геометрия

Глава 10. Евклидово n-мерно пространство. Квадратични форми и квадрики в евклидовото пространство

§94.Ортогонални трансформации

Дефиниция.Матрица A се наричаортогонална, ако нейната обратна матрица съвпада с транспонираната матрица : = ; .

Теорема 118.Една квадратна матрица е ортогонална тогава и само ако сумата от квадратите на всички елементи на всеки от нейните редове е 1, а сумата от произведенията на съответните елементи на всеки два различни реда е 0.

Следствие.Твърдението е вярно и за колоните на ортогоналната матрица A.

Пример 2.За n =2 имаме матрица, тогава условието за нейната ортогоналност ще бъде изпълнението на системата

трансформация

По-специално, матрицата отговаря на тези условия.

Теорема 119.За да бъде базисът, чиито вектори се изразяват чрез векторите на ортонормалния базис, също ортонормален (изразен с формулите, (i=1,2,…, n) е необходимо и достатъчно матрицата на прехода от един базис към друг да бъде ортогонална ( - ортогонална).

Дефиниция.Линейна трансформацияЕвклидовото векторно пространствосе нарича ортогонално, ако запазва дължината на всеки вектор

. (1)

Теорема 120.Ортогоналната трансформация (1) запазва скаларното произведение на два вектора:

. (2)

Следствие 1.Ортогоналната трансформация запазва ъглите между векторите.

Следствие 2.Ортогонална трансформация преобразува ортонормална база върху ортонормална.