Разпределение на Максуел, математика, FANDOM, поддържано от Wikia
Разпределението на Максуеле вероятностно разпределение, срещано във физиката и химията. Той е в основата на кинетичната теория на газовете, която обяснява много от основните свойства на газовете, включително налягане и дифузия. Разпределението на Максуел е приложимо и за електронни транспортни процеси и други явления. Разпределението на Максуел се прилага за различни свойства на отделните молекули в газ. Обикновено се смята за енергийно разпределение на молекулите в газ, но може да се приложи и към разпределението на скоростите, моментите и модула на импулса на молекулите. Може също да се изрази като дискретно разпределение върху набор от дискретни енергийни нива или като непрекъснато разпределение върху някакъв енергиен континуум.
Разпределението на Максуел може да се получи с помощта на статистическа механика (вижте произхода на функцията на разпределение). Като енергийно разпределение, то съответства на най-вероятното енергийно разпределение в доминирана от сблъсък система, състояща се от голям брой невзаимодействащи си частици, в които квантовите ефекти са незначителни. Тъй като взаимодействието между молекулите в газ обикновено е доста малко, разпределението на Максуел дава доста добро приближение на ситуацията, която съществува в газа.
В много други случаи обаче условието за доминиране на еластичните сблъсъци над всички други процеси не е дори приблизително изпълнено. Това е вярно, например, във физиката на йоносферата и космическата плазма, където процесите на рекомбинация и сблъсково възбуждане (т.е. радиационни процеси) са от голямо значение, особено за електроните. Предположението за приложимостта на разпределението на Максуел в този случай би дало не само количествено неверни резултати, но дори би предотвратилоправилно разбиране на физиката на процесите на качествено ниво. Също така, в случай, когато квантовата дължина на вълната на Де Бройл на газовите частици не е малка в сравнение с разстоянието между частиците, ще има отклонения от разпределението на Максуел поради квантови ефекти.
Разпределението на енергията на Максуел може да се изрази като дискретно разпределение на енергията:
къдетоNiе броят на молекулите, притежаващи енергияEiпри системна температураT,Nе общият брой молекули в системата иkе константата на Болцман. (Имайте предвид, че понякога горното уравнение се записва с фактораgi, показващ степента на израждане на енергийните нива. В този случай сумата ще бъде за всички енергии, а не за всички състояния на системата). Тъй като скоростта е свързана с енергията, уравнение (1) може да се използва за извеждане на връзката между температурата и скоростите на молекулите в газа. Знаменателят в уравнение (1) е известен като канонична разделителна функция.
Съдържание
Разпределение на Максуел Редактиране
Векторно разпределение на импулса Редактиране
Представеният по-долу е много различен от извода, предложен от Джеймс Клерк Максуел и по-късно описан с по-малко спекулации от Лудвиг Болцман.
В случай наидеален газ, състоящ се от невзаимодействащи атоми в основно състояние, цялата енергия е под формата на кинетична енергия. Кинетичната енергия е свързана с импулса на частицата по следния начин
Следователно можем да пренапишем уравнение (1) като:
къдетоZе разпределителната функция, съответстваща на знаменателя в уравнение (1),mе молекулното тегло на газа,Tе термодинамичната температура иkе константата на Болцман. Това разпределениеNi/Nе пропорционално на функцията на плътност на вероятносттаfpна молекулата, която е в състояние с тези стойности на компонентите на импулса. По този начин:
$f_\mathbf
(p_x, p_y, p_x) = \frac \exp \left [\frac \right] \qquad\qquad (4) $
нормализационната константаcможе да се определи от факта, че вероятността една молекула да имавсекиимпулс трябва да бъде равна на единица. Следователно интегралът на уравнение (4) върху всички стойностиpx,pyиpzтрябва да бъде равен на единица. Може да се покаже, че:
$ \int _ ^ \infty \int _ ^ \infty \int _ ^ \infty \frac \exp \left [\frac \right] \, dp_x \, dp_y \, dp_z = \frac \left (2\pi m kT \right) ^ \qquad\qquad (5) $ .
По този начин, за да има интегралът в уравнение (4) стойност 1, е необходимо, че
Замествайки израз (6) в уравнение (4) и използвайки факта, чеpi=mvi, получаваме
Векторно разпределение на скоростта Редактиране
Като се има предвид, че плътността на разпределение на скоросттаfvе пропорционална на плътността на разпределение на импулса:
$ f_\mathbf d^3v = f_\mathbf
\left (\frac \right) ^3 d^3v $
и използвайкиp= mvполучаваме:
което е разпределението на скоростта на Максуел. Вероятността за откриване на частица в безкрайно малък елемент [dvx,dvy,dvz] близо до скоростv= [vx,vy,vz] е
$ f_\mathbf \left (v_x, v_y, v_z\right) dv_x dv_y dv_z $
Разпределение в абсолютен импулс Редактиране
Чрез интегриране можем да намерим разпределението по абсолютната величина на импулса
f_\mathbf
p^2 \sin (\theta) \, d\theta \,d\phi=4\pi\sqrt \right) ^3>
p^2 \exp \left [\frac \right] $
Разпределение на енергия Редактиране
Накрая, използвайки отношениетоp2 = 2mEполучаваме разпределението на енергията:
\exp\left[\frac\right] $
Разпределение на скоростта на прожектиране Редактиране
Разпределението на Максуел за вектора на скоростта [vx,vy,vz] е произведението на разпределенията за всяка от трите посоки:
$ f_v \left (v_x, v_y, v_z\right) = f_v (v_x) f_v (v_y) f_v (v_z) $,
където разпределение в една посока:
$f_v(v_i) = \sqrt > \exp \left [\frac \right] \qquad\qquad (9) $
Това разпределение има формата на нормално разпределение. Както може да се очаква за газ в покой, средната скорост във всяка посока е нула.
Разпределение по модул на скоростите Редактиране
Обикновено разпределението по абсолютната стойност е по-интересно, отколкото по проекциите на скоростите на молекулите. Модулът на скоростта,vсе определя като:
така че модулът на скоростта винаги ще бъде по-голям или равен на нула. Тъй като всичкиvi са нормално разпределени, тогаваv2 ще има разпределение хи-квадрат с три степени на свобода. Акоf(v) е функцията на плътност на вероятността за модула на скоростта, тогава:
$ f\left (v\right) dv = P (\chi^23) d\chi^2 $,
по този начин функцията на плътност на вероятността за модула на скоростта е
$ f (v) dv = 4 \pi v^2 \left ( \frac \right) ^ \exp \left (\frac \right) dv \qquad\qquad (11) $
Характерна скорост Редактиране
Въпреки че уравнение (11) дава разпределението на скоростите или с други думи съотношението на молекулите, имащи определена скорост, други величини като средните скорости на частиците често са по-интересни. INВ следващите подраздели ще дефинираме и получимНай-вероятна скорост,Средна скоростиRMS скорост.
Най-вероятно скорост Редактиране
най-вероятна скорост,vp— вероятността за притежание на която и да е молекула от системата е максимална и която съответства на максималната стойностf(v). За да го намерите, трябва да изчислитеdf/dv, да го зададете равно на нула и да решите заv:
$ \frac = \left (\frac \right) ^ \exp \left (-mv^2/2kT \right) \left [8\pi v + 4 \pi v^2 (-mv/kT) \right] = 0\qquad\qquad (12) $ $ v_p = \sqrt > = \sqrt > \qquad\qquad (13) $
Средна скорост Редактиране
Като замествамеf(v) и интегрираме, получаваме