Решаване на системи от линейни уравнения

Една от най-важните задачи в техническите приложения и изчисления е проблемът за решаване на системи от линейни уравнения. В матрична нотация този проблем може да се формулира по следния начин. Дадени две матрици A и B, има ли уникална матрица X, така че AX = B или XA = B?

За по-голяма яснота разгледайте едноизмерен пример. Дали уравнението

единственото решение? Отговорът, разбира се, е да. Това уравнение има уникално решение x = 3 . Разтворът може лесно да се получи чрез обикновено деление.

Решението за това обикновено не се състои в определяне на реципрочната стойност на числото 7 (т.е. стойността = 0,142857…) и след това умножаване на числото по числото 21. Това би било по-трудоемко и, ако числото е представено от краен брой цифри (битове), по-малко точно. Подобни разсъждения се прилагат за системи от линейни алгебрични уравнения с повече от едно неизвестно; MATLAB решава такива уравнения без изчисления

обратна матрица. Въпреки че не е стандартна математическа нотация, MATLAB използва терминологията, свързана с обикновеното деление в едномерния случай, за да опише общия случай на решаване на последователна система от множество линейни уравнения. Двата знака за разделяне / (наклонена черта (на английски - наклонена черта )) и \ (обратна наклонена черта ( обратна наклонена черта )) се използват в два случая, когато неизвестна матрица се появява отляво или отдясно на матрицата на коефициента:

X = A\B означава решението на матричното уравнение AX = B

X = B/A означава решението на матричното уравнение XA = B.

Можете да мислите за това като за процес на "разделяне" на двете страни на уравнението AX = B или XA = B на A. Матрицата на коефициента A винаги е в „знаменателя". Условието за размерна съвместимост за X = A\B изисква двете матрици A и Bимат еднакъв брой редове. След това решение X има същия брой колони като B и броят му редове ще бъде равен на броя на колоните на A. За X = B/A редовете и колоните се обръщат. На практика линейните уравнения във формата AX = B са по-често срещани, отколкото във формата XA = B . Следователно обратната наклонена черта \ се използва по-често от наклонената черта / . Следователно в останалата част от този раздел ще се ограничим до оператора \; съответните свойства на оператора / могат да бъдат изведени от тъждеството

Като цяло не се изисква матрицата на коефициента A да бъде квадратна. Ако A има размер mxn, тогава са възможни три случая:

1. m = n Квадратна система. Търси точното решение.

2. m > n Нова дефинирана система. Решението се търси по метода на най-малките квадрати.

3. m Недоопределена система. Основното решение с най-голямото

броят на ненулевите компоненти m.

Операторът \ използва различни алгоритми за решаване на системи от линейни уравнения с различни типове матрици на коефициенти. Различни случаи, които се диагностицират автоматично от типа матрица на коефициента, включват:

• Пермутации на триъгълни матрици

• Симетрични, положително определени матрици

• Квадратни неособени матрици

• Правоъгълни, предефинирани системи

• Правоъгълни, недоопределени системи

Квадратни системи

Най-честата ситуация е квадратна коефициентна матрица A и едномерна b отдясно, т.е. Ax = b. Решението x = A\b има същия размер като вектора b . Например,

където матрица А е горната матрица на Паскал. Лесно е да се провери, че A*x е точно равен на вектора u (числовите стойности на този вектор са дадени по-горе).

Ако А и Б саквадрат и имат еднакъв размер, тогава X = A \ B има същия размер, например

---