Резюме Приложение на марковските процеси на смърт и размножаване
В тази теоретична и практическа работа ще разгледаме схемата на непрекъснатите вериги на Марков - така наречената "схема на смъртта и възпроизводството"
Тази тема е изключително актуална поради голямото значение на процесите на Марков при изучаването на икономически, екологични и биологични процеси, освен това процесите на Марков са в основата на теорията за масовото обслужване, която в момента се използва активно в различни икономически области, включително управление на процеси в предприятието.
Марковските процеси на смърт и възпроизводство се използват широко за обяснение на различни процеси, протичащи в биосферата, екосистемата и др. Трябва да се отбележи, че този тип марковски процеси получи името си именно поради широкото си приложение в биологията, по-специално при моделирането на смъртта и възпроизводството на индивиди от различни популации.
В тази статия процесите на смърт и размножаване ще бъдат използвани при решаването на задача, чиято цел е да се намери приблизителният брой пчели в една популация.
Теоретична част
Като част от теоретичната част ще бъдат написани алгебрични уравнения за граничните вероятности на състоянията. Очевидно, ако две непрекъснати вериги на Марков имат еднакви графики на състоянието и се различават само по стойностите на интензитета,
тогава можете незабавно да намерите ограничаващите вероятности на състоянията за всяка от графиките поотделно, достатъчно е да съставите и решите уравненията за една от тях в буквална форма и след това вместо това да замените съответните стойности. За много често срещани форми на графики линейните уравнения се решават лесно в буквална форма.
В тази статия ще опишем схемата на непрекъснатите вериги на Марков - т.ннаречена „схема за смърт и размножаване“.
Непрекъсната верига на Марков се нарича „процес на смърт и растеж“, ако нейната графика на състоянието има формата, показана на фиг. 1.1, т.е. всички състояния могат да бъдат изтеглени в една верига, в която всяко от средните състояния (S2 , . Sn-1 ) е свързано чрез пряка и обратна връзка с всяко от съседните състояния, а крайните състояния (S1 , Sn ) - само с едно съседно състояние.
За да напишем алгебрични уравнения за граничните вероятности на състоянията, ние вземаме определен проблем.
Пример.Едно техническо средство се състои от три еднакви единици; всеки от тях може да се провали (провали); неуспешният възел веднага започва да се възстановява. Състоянията на системата са номерирани според броя на дефектните възли:
S0 - и трите възела работят;
S1—един възел е повреден (възстановен), два работят;
S2 - Два възела се възстановяват, единият работи;
S3 - И трите възела се възстановяват.
Графиката на състоянието е показана на фиг. 1.2. От графиката се вижда, че протичащият в системата процес е процес на „смърт и размножаване”.
Схемата на смъртта и размножаването много често се среща в голямо разнообразие от практически проблеми; следователно има смисъл да разгледаме тази схема предварително в общ вид и да решим съответната система от алгебрични уравнения, така че в бъдеще, когато се срещнем с конкретни процеси, протичащи по такава схема, да не решаваме проблема всеки път отново, а да използваме готово решение.
И така, помислете за случаен процес на смърт и размножаване с графиката на състоянието, показана на фиг. 1.3
Нека напишем алгебрични уравнения за вероятностите на състоянието. За първото състояние S1 имаме:
(1.2)
За второто състояние S2, сумите от термини,съответстващи на входящите и изходящите стрелки са:
Но поради (1.2) можем да съкратим равните един на друг членове отдясно и отляво и получаваме:
и по-нататък, по абсолютно същия начин,
С една дума, за схемата на смъртта и размножаването термините, съответстващи на стрелките, стоящи една над друга, са равни един на друг:
(1.3)
къдетоkприема всички стойности от 2 доn.
И така, ограничаващите вероятности на състояниятаpbp2 >. pn ввсяка схема на смърт и размножаване удовлетворява уравненията:
и условието за нормализиране:
(1,5)
Решаваме тази система по следния начин: от първото уравнение (1.4) изразявамеp2 :
(1.6)
от второто, като вземем предвид (1.6), получаваме
(1,7)
от третото, като се вземе предвид (1.7):
(1,8)
Тази формула е валидна за всякоkот 2 доn.
Нека да разгледаме неговата структура. Числителят съдържа произведението на всички плътности на вероятността на прехода (интензитети), стоящи на стрелките, насочени отляво надясно, от началото и нагоре до този, който отива към състояниетоSk; в знаменателя - произведението на всички интензитети,, стоящи при стрелките, вървящи отдясно наляво, отново от началото и нагоре до стрелката, излъчвана от състояниетоSk. Когатоk=n, числителят ще съдържа произведението на интензитетите,на всички стрелки, вървящи отляво надясно, а знаменателят ще бъде произведението на всички стрелки, вървящи отдясно наляво.
И така, всички вероятности се изразяват чрез една от тях: . Нека заместим тези изрази в условието за нормализиране: . Получаваме:
(1,9)
Останалите вероятности се изразяват чрез
По този начин проблемът за "смъртта и размножаването" се решава по общ начин:гранични вероятности на състоянията.
Практическа част
Процесите на Марков, по-специално смъртта и размножаването, се използват за описание на работата и анализа на широк клас системи с краен брой състояния, в които се извършват повтарящи се преходи от едно състояние в друго под въздействието на всякакви причини. В такива системи те се случват произволно, внезапно, в произволен момент от времето, когато настъпят определени събития (потоци от събития). По правило те са два вида: единият от тях условно се нарича раждане на обект, а вторият е неговата смърт.
Естественото размножаване на пчелните семейства - роенето - от гледна точка на процесите, протичащи в системата в момента, може да се разглежда като вероятностен процес, когато колонията в определен момент от време може да премине от работно състояние в рояк. В зависимост от различни фактори, както контролирани технологични, така и слабо контролирани биологични и климатични, може да завърши с роене или връщане на колонията в работно състояние. В този случай семейството може многократно да се премества от едно състояние в друго. По този начин, за да се опише математическият модел на процеса на роене, е допустимо да се приложи теорията на хомогенните марковски процеси.
Интензивността на прехода на пчелната колония към роево състояние - размножаване - до голяма степен се определя от скоростта на натрупване на млади неактивни пчели. Интензивността на обратния преход - "смърт" - връщане на колонията в работно състояние, което, от своя страна, зависи от фактическото роене, подбора на пилото и пчелите (формиране на отводки), количеството събран нектар и др.
Вероятността за преминаване на пчелна колония в роево състояние ще се определя преди всичко от интензивността на протичащите в нея процеси, водещи до роене.λ и техники против роене μ, които зависят от технологиите, използвани за намаляване на роенето на колонии. Следователно, за да се повлияе на разглежданите процеси, е необходимо да се промени интензитета и посоката на потоците λ и μ (фиг. 1).
Моделирането на селекцията на част от пчелите от колонията (увеличаване на тяхната "смърт") показа, че вероятността за настъпване на работно състояние нараства логаритмично, а вероятността за роене намалява логаритмично. При метод против роене - селекция от семейство от 5-7 хиляди пчели (две или три стандартни рамки) - вероятността за роене ще бъде 0,05, а вероятността за работно състояние - 0,8; изборът на повече от три рамки с пчели намалява вероятността от роене с много малко.
Да решим една практическа задача относно процеса на роене при пчелите.
Като начало, нека изградим графика, подобна на графиката на Фигура 1, с интензитетите на преход към определено състояние.