Симплектична група - Физическа енциклопедия
СИМПЛЕКТИЧНА ГРУПА (от лат. simplex - прост) - група от линейни трансформации на крайномерно векторно пространство (реално или комплексно), запазващи косо-скаларен продукт, т.е. неизродена косо-симетрична (във физическите приложения по-често се използва терминът "антисиметричен") билинейна форма. Пространството, снабдено с косо-скаларен продукт, се нарича симплектичен Ролята на С. г. в симплектичния. пространството е аналогично на ролята на ортогоналната група в евклидовото пространство.
Примери. 1) Косото скаларно произведение на равнината с координати p, q е формата на площта. Към чифт вектори той свързва ориентираната област на успоредника, обхванат от тях, и променя знака, когато векторите се пренареждат. Например косо-скаларният продукт на двойка вектори с декартови координати u1, u2 и w1, w2 може да бъде записан като: . SG на равнината е изоморфна на групата от 2x2 матрици с детерминанта 1.
2) Пряката сума на симплектиката равнини носи косо-скаларен продукт, който се отнася до двойка вектори сумата от площите на проекциите върху координатните равнини на успоредник, обхванат от тези вектори. Rg се съдържа в групата линейни трансформации, които запазват обема
3) Въображаемата част от неизродена ермитова форма в n-мерно комплексно пространство, разглеждано като 2n-мерно реално пространство, е косо-скаларен продукт. В координатите Ермитовата форма има имагинерна част -. SG съдържа унитарна група, групата от сложни линейни трансформации, които запазват тази ермитова форма. Унитарна група е максимална компактна подгрупа в C. g.
Изследването на симплектиката пространството е опростено поради теоремата на Дарбу-Фробениус, според която симплектичното пространството е четномерно и две такивапространства с една и съща размерност са симплектични изоморфни.
Изкривена ортогоналност. Два вектора, наречени. наклонено-ортогонални, ако тяхното наклонено-скаларно произведение е нула. Векторът, перпендикулярен на цялото пространство, е нула. Това е дефиницията за неизроденост на косо-скаларен продукт. Всеки вектор е наклонено ортогонален на себе си (последствие от наклонена симетрия). Наклоненото ортогонално допълнение на права е хиперравнината, съдържаща тази права. Обратно, наклоненото ортогонално допълнение на хиперравнина е права в нея. Като цяло косо-ортогоналното допълнение на подпространство има допълнение. измерение. Две подпространства с едно и също измерение се трансформират едно в друго чрез трансформация от CG тогава и само ако размерите на техните пресечни точки съвпадат с техните косо-ортогонални допълнения. По-специално, всяка линия (хиперравнина) се превежда във всяка друга. Следователно геометрията е симплектична. пространството до голяма степен се определя от структурата на S. g.
S. g. на 2n-мерен симплектик пространства е проста свързана група на Ли, означена [в комплексния случай с ]. Размерността му е (2n + 1)n. Алгебрата на Ли от тази група е изоморфна на алгебрата на Лие от хомогенни полиноми от степен 2 в променливите (p1, . pn, q1, . qn) със скобата на Поасон като комутатор:
Поради тази причина изучаването на SG е еквивалентно до известна степен на изучаването на линейни хамилтонови системи от диференциални уравнения. А. Б. Гивентал.