Симплектична група
Една от класическите групи, дефинирана като група от автоморфизми на алтернативна билинейна форма Φ на левия K-модул E, където K е комутативен пръстен. В случая, когато E \u003d K 2m и матрицата на формата Ф в каноничния. основата на модула E има формата Матрицата на произволен автоморфизъм от Sp2m(K) в базиса т.нар. симплектична матрица. Нека K е поле и Φ неизродена билинейна форма с променлив знак в n-мерното векторно пространство Enad K. Тогава четното, свързано с формата Φ на SG, изоморфна на групата Sp n(K), се генерира от всички възможни линейни трансформации на Evidian пространството se,a, където . Линейни трансформации от вида se,a се наричат. симплектични трансвекции или измествания в посоката на правата Ke. Центърът Z на групата Sp n(K) се състои от матриците In и - In if char ; ако char K=2, тогава . Факторната група Spn(K)/Z се нарича. проективна симплектична група и се означава с PSp n(K). Всички проективни КГ са прости, с изключение на тези, които са изоморфни, съответно симетрични. групите S3 и S6 и редуващата се група A4 (полето от q елемента се означава с Fq). Редът на C. g. Sp2m (Fq) е равен на C. g. Sp 2 (K) съвпада със специалната линейна група SL2 (K); ако char , тогава групата PSp4 (K). е изоморфна на фактор групата на групата W5 (K, f) по отношение на нейния център (където W5 (K, f) е комутаторната подгрупа на ортогоналната група на симетричната билинейна форма f в пет променливи от индекс 2). С изключение на случая m=2,char K=2, всеки автоморфизъм j на групата Sp2m(K) може да бъде представен във формата, където t е полеви автоморфизъм и h2 е линейна трансформация на пространството E, представено в основата чрез матрица от вида (b е ненулев елемент от полето K). S. g. Sp 2m (K) съвпада с групата от K-точки на линейна алгебрична групи Sp2m,дадено от уравнението. Тази алгебрична групата, наричана още SG, е проста, просто свързана, линейна алгебрична група. група от тип C m, нейният размер е 2m 2+m. В случая, когато или , К. т. Sp2m(K) е свързана, едносвързана, проста, сложна (съответно реална) група на Лие. Групата е една от реалните форми на комплекса C. g. Останалите реални форми на тази група също понякога се наричат S. g. Това са подгрупи, разграничени от групата чрез условието за запазване на ермитовата форма на формата, където ei=1 за и и ei=-1 за останалите i. Групата Sp(0, m) е компактната реална форма на комплекса S. r. S. g. Sp(p, q) е изоморфен на групата от всички линейни трансформации на дясното векторно пространство върху косото поле на кватерниони с размерност m = p + q, които запазват кватернионната ермитова форма на индекс min(p, q), тоест форма на формата, където и лентата означава прехода към спрегнатия кватернион. Лит.: [l] Аптин Е., Геометрична алгебра, прев. от англ., М., 1969; [2] Н. Бурбаки, Алгебра. Модули, пръстени, форми, платно. от френски, Москва, 1966; [3] G. Dieudonné, Геометрия на класическите групи, прев. от френски, Москва, 1974 г.; [4] S. Xelgason, Диференциална геометрия и симетрични пространства, прев. от англ., М., 1964; [5] K. Chevalley, Теория на групите на Лъжа, прев. от английски, т. 1, М., 1948. В. Л. Попов.