Случаен експеримент, елементарни резултати, събития - Математика
Случаен (стохастичен) експеримент или тест е прилагането на набор от условия, които могат да бъдат практически или мислено възпроизведени толкова пъти, колкото желаете.
Примери за произволен експеримент: хвърляне на монета, теглене на една карта от разбъркано тесте.
Явленията, които възникват по време на изпълнението на този набор от условия, тоест в резултат на случаен експеримент, се наричат елементарни резултати. Смята се, че при провеждане на случаен експеримент се реализира само един от възможните елементарни резултати.
Ако монета бъде хвърлена веднъж, тогава загубата на герб (G) или число (C) може да се счита за елементарен резултат.
Ако разгледаме хвърлянето на монета три пъти като случаен експеримент, тогава следното може да се счита за елементарни резултати:
GYY, GGC, GCG, CGG, GCC, CGC, CCG, CCC.
Наборът от всички елементарни резултати от случаен експеримент се нарича пространство на елементарни резултати. Пространството от елементарни изходи ще обозначим с буквата W (голяма омега), i-тия елементарен изход ще означим с wi (w е омега малък).
Ако пространството от елементарни резултати съдържа n елементарни резултати, тогава
За да хвърлите монета три пъти,
Ако случаен експеримент е хвърляне на зарове, тогава W=(1,2,3,4,5,6).
Ако W е ограничено или преброимо, тогава всяко подмножество на W се нарича случайно събитие или просто събитие.
Едно множество се нарича изброимо, ако може да се установи взаимно еднозначно съответствие между него и множеството N от естествени числа.
Пример за бройно множество: множеството от възможни стойности за времето на пристигане на извънземни на Земята, ако времето се брои от настоящия момент иизчислено до най-близката секунда.
Примери за неизброими множества: набор от точки на дадена отсечка, набор от числа x, удовлетворяващи неравенството 1 10 /6 10 . VI. 1/6 p -1. VII.
Решения. I. Общият брой резултати е броят на опциите за разпределяне на останалите 20 карти между играчи B и C. Това число е равно на . Нека сега изчислим броя на благоприятните резултати. Нека играч Б получи останалите три сърца.Тогава броят на опциите за набор от 10 карти, съдържащ тази тройка карти, е равен на . Естествено, ако играч B е получил своите 10 карти, играч C неизбежно получава останалите 10 карти.Подобен резултат се получава, ако приемем, че играч C има три сърца.Така отговорът на задачата се определя от формулата, а желаната вероятност е 4/19.
II. Имайки предвид, че от условието не знаем какви са тези предложения и се интересуваме само от количествената страна на въпроса, ще приемем, че общият брой резултати е равен (пълна аналогия с комбинаторната задача за еднакви дарби - Задача V от предишната тема). Броят на благоприятните резултати. е 5. Тогава желаната вероятност е 1/42.
III. Общият брой опции за разпределяне на карти между 4 играчи е . Нека първият играч вземе 4 аса. Тогава броят на опциите за набора от карти, които е получил, е равен на . Общият брой опции за раздаване на карти между 4 участника в този случай ще бъде равен на . Трябва да се отбележи, че четири аса могат да ударят всеки от 4-те участници. Накрая получаваме, че желаната вероятност е равна на или 7/899»0,007786.
IV.10 букви могат да бъдат подредени в редица по 10 начина! За да получите броя на благоприятните резултати, трябва да вземете думата MATH и да се уверите, че тя може да бъде получена чрез пренареждане на 3 букви A, 2 букви M и 2 букви T, което може да се направи 3!2!2!начини Отговор на задачата: 3!2!2!/10!
V. Общият брой резултати тук е 6 10 . Благоприятните резултати включват загуба на една, две, три и т.н. шестици. По-лесно е да се преброи броят на неблагоприятните резултати, т.е. резултатите, когато не е паднала нито една шестица. Очевидно има 5 10 от тях, а броят на благоприятните резултати е 6 10 -5 10 . Желаната вероятност е 1–5 10 /6 10 .
VI. Общият брой резултати тук е 6 n . Броят на благоприятните резултати е 6. Отговорът на задачата е: 1/6 p–1.
VII Всяка страна има два изхода - победа на единия или на другия участник. За две партии има 2 2 = 4 изхода, за три партии - 2 3 = 8 изхода, за n партии - 2 n изхода. Сред тях точно резултатите съответстват на печалбата на един от играчите в m игри. Така желаната вероятност е равна на
Задачи за самостоятелно решаване.
1) Една урна съдържа бяла и b черни топки (a ³ 2; b ³ 2). От урната се изтеглят 2 топки без подмяна. Намерете вероятността топките да са с еднакъв цвят.
2) Една урна съдържа една бяла и b черни топки. Топките без подмяна се изваждат от урната. Намерете вероятността k-тата изтеглена топка да е бяла.
3) Тесте от 32 карти е внимателно разбъркано. Намерете вероятността и четирите аса да лежат в тестето едно след друго, без да се разпръскват други карти.
4) n души са настанени в редица в произволен ред. Каква е вероятността двама определени хора да са един до друг?
5) От 28 домино, две са избрани на случаен принцип. Намерете вероятността те да образуват „верига“ според правилата на играта.
6) От буквите на разделената азбука е съставена думата СТАТИСТИКА. След това 5 букви се избират на случаен принцип от тези букви без замяна. Намерете вероятността избраните букви да образуват думата ТАКСИ.
7) Каква е вероятността две хвърляния на три зара с различен цвят да дадат един и същ резултат?
8) Петима души влязоха в асансьора на 8-етажна сграда на първия етаж. Всеки от тях с еднаква вероятност може да излезе на всеки от етажите, като се започне от втория. Намерете вероятността и петте да излязат на различни етажи.
9) Намерете вероятността сред произволно избрани 12 души всички да имат рождени дни в различни месеци.
10) В джоба има 10 ключа, от които само един пасва на тази ключалка, но не се знае кой. Ключовете се вземат на случаен принцип от джоба един по един и се прави опит за отваряне на ключалката. Намерете вероятността ключалката да бъде отворена при 7-ия опит.
11) За да се намали общият брой игри, 2n отбора от спортисти са разделени на две подгрупи. Определете вероятността двата най-силни отбора да бъдат: а) в различни подгрупи, б) в една и съща подгрупа.
12) От група от 6 души, 3 от които говорят английски, произволно се избират 3 души. Намерете вероятността сред избраните хора поне 2 да говорят английски.
Отговори: 1); 2)a/(a+b); 3)29!4!/32!=1/1240; 4)2/p; 5)7/18; 6)2/21 7)1/216; 8); 9)11!/12 11 ; 10)1/10; 11) а) n / (2n-1); b)(n-1)/(2n-1); 12) 1/2