Статистика на Бозе-Айнщайн и Ферми-Дирак
Един от най-важните обекти на изследване, както и класическата физика, е идеалният газ, тъй като една реална система може да се счита за идеален газ в доста добро приближение. Състоянието на системата от невзаимодействащи частици се определя с помощта наNi -числа на заетост, които характеризират степента на заетост на квантовото състояние, характеризирано с даден набор от i квантови числа, от частици на система, състояща се от набор от идентични частици.
При разглеждането на принципа на Паули вече говорихме за принципа на неразличимостта на еднаквите частици. Нека разгледаме случая на две еднакви частици от гледна точка на уравнението на Шрьодингер. От самата концепция за идентичност следва, че вълновата функция трябва да удовлетворява същото уравнение на Шрьодингер при смяна на местата на частиците (в този случай собствената стойност на енергията също не се променя):
(2,42)
Енергийният хамилтониан е ермитова матрица. Спомнете си, че квадратната матрица се наричаермитова илисамосъпряжена, ако всеки от нейните елементи е комплексно спрегнат на елемент, симетричен на дадения по отношение на главния диагонал; с други думи, матрицата A е ермитова, ако:
Това предполага самосвързаното свойство на ермитовата матрица: ермитовата матрица е идентично равна на нейния ермитов конюгат и обратно. Например всички следните матрици:
са ермитови (самосъединени). Тъй като хамилтонианът е ермитов, ако няма израждане в енергията (за дадено E), можем да заключим, че:
(2,33)
Оттук следва, че
(2,34)
Имаме две възможности:
, след това - симетрична вълнова функция
, тогава - антисиметрична функция (2.35)
Когато собствената стойност на E е изродена, равенството (2.33) можеи да не се изпълняват. В този случай обаче вместо базисните функции могат да се вземат техните линейни комбинации:
или - симетрична (по координатите на еднакви частици) комбинация;
или - антисиметрична (по координатите на еднакви частици) комбинация.
Общите изводи от проведените дискусии са:
- вълновата функция на система, състояща се от две идентични частици, винаги може да бъде избрана да бъде симетрична или антисиметрична по отношение на операцията на пермутация на тези частици.
- ако вълновата функция в началния момент от време е симетрична (антисиметрична), то във всеки друг момент от време тази функция запазва свойствата си на симетрия.
Както вече казахме, Паули показа, че частиците, описани от антисиметрични вълнови функции, имат полуцяло въртене, частиците, описани от симетрични вълнови функции, имат цяло (или нулево) въртене. Не са известни изключения от това правило.
Опитът показва, че симетрията или антисиметрията на функцията PSI се определя от въртенето на частиците. В зависимост от характера на симетрията всички елементарни частици и изградени от тях системи (атоми, молекули) се делят на два класа:
- Частиците с частичен спин (електрони, протони, неутрони) се описват от антисиметрични вълнови функции и сафермиони.
- Частиците с нулев или цял спин се описват със симетрични вълнови функции -бозони.
За системи от частици, образувани от бозони, числата за заемане могат да приемат всякакви цели числа: За система от частици, образувана от фермиони, числата за заемане могат да приемат само две стойности: "0" - за свободни състояния и "1" - за заети. Това не е нищо друго освен принципът на Паули в нов израз -. Сумата от всички числа за попълване трябвае равен на броя на частиците в системата. Квантовата статистика позволява да се изчисли средният брой частици в дадено квантово състояние, т.е. определяне на средните числа на запълване - .
Идеален газ от бозони (Бозе газ) е описан от квантовата статистика на Бозе-Айнщайн. Енергийното разпределение на бозоните следва от голямото канонично разпределение на Гибс (с променлив брой частици), при условие че броят на идентичните бозони в дадено квантово състояние може да бъде всеки:
Това еразпределението на Бозе-Айнщайн. -среден брой бозони в квантово състояние с енергия Ei ; k - константата на Болцман, T - температура, m - химичен потенциал (определя изменението на вътрешната енергия на системата при добавяне на една частица към нея, при условие че всички други величини, от които зависи вътрешната енергия, са фиксирани).
Идеален газ от фермиони(Ферми – газ) е описан от статистиката на Ферми-Дирак:
Ако , тогава разпределенията на Бозе-Айнщайн и Ферми-Дирак преминават в класическото разпределение на Максуел-Болцман:
по този начин при високи температури и двата "квантови" газа се държат като класически газ. Система от частици се наричаизродена, ако нейните свойства се различават значително от свойствата на системи, подчинени на класическата статистика.Параметърът на израждане е стойността A, когато A