1. Площта на страничната повърхност на цилиндъра
Нека е даден цилиндър (фиг.1). Нека впишем правилна n-ъгълна призма в него. Площта на страничната повърхност на призмата е:
където P - периметър на основата H - височина
При неограничено нарастване на n, т.е. броят на ъглите в основния многоъгълник, неговият периметър ще се доближи до обиколката на кръга. Следователно площта на страничната повърхност ще бъде равна на:
където L - обиколка на основата R - радиус на основата H - височина на цилиндъра
Така:площта на страничната повърхност на цилиндъра е равна на произведението на обиколката на основата и височината.
Ориз. 1 Площта на страничната повърхност на цилиндъра.
2. Обем на цилиндъра
Едно тяло има обем, равен на V, ако съществуват прости тела, които го съдържат, и прости тела, съдържащи се в него, с обеми, не много различни от V.
Нека е даден цилиндър с височина H (фиг.2). Построяваме призма вътре в цилиндъра, в основата на която лежи многоъгълник, вписан в основата на цилиндъра. И нека построим призма с основа, която съдържа кръг, т.е. основата на цилиндъра. И двете призми имат височина H - същата като тази на цилиндъра. Така получаваме две призми: едната се съдържа в цилиндър, а другата съдържа цилиндър. И двете призми са базирани на многоъгълници с n ъгли.
Тъй като n - броят на ъглите клони към безкрайност, площта на основата на призмите ще се доближикръгова площ. И тъй като обемът на призмата е равен на произведението на площта на основата и височината, тогава обемът на цилиндъра е равен на:
Следователно:обемът на цилиндър е равен на произведението от площта на основата и височината.
Фиг.2 Обем на цилиндъра
3. Площта на страничната повърхност на конуса
Нека е даден конус (фиг.3). Нека впишем правилна n - въглищна пирамида в конуса. Тогава площта на страничната повърхност на пирамидата ще бъде равна на:
където P е периметърът на основата l е апотемата на страничната повърхност
Тъй като n клони към безкрайност, т.е. с увеличаване на броя на ъглите в основния многоъгълник, периметърът ще се приближи до обиколката, а апотемата ще се приближи до дължината на генератора. Следователно площта на страничната повърхност ще бъде равна на:
където С - обиколка R - радиус на основната окръжност l - дължина на образуващата
Площта на страничната повърхност на пресечен конус с радиуси на основата R1 и R2 се изчислява по следната формула.
където R1 и R2 са радиусите на долната и горната основа l е дължината на образуващата
Ориз. 3 Площта на страничната повърхност на конуса.
4. Обем на конуса
Нека е даден конус (фиг.4 а). В равнината на основата на нашия конус изграждаме правилен многоъгълник, вписан в окръжността на основата на конуса. Нека построим втори правилен многоъгълник, който съдържа основата на конуса. Върху съществуващите полигони изграждаме пирамиди: едната се съдържа в конуса, а другата съдържа конуса. Основните многоъгълници на двете пирамиди имат n ъгли.
При неограничено увеличаване на броя на ъглите n, тяхната площ ще клони към площта на кръг.
Следователнообемът на конуса е равен на една трета от произведението на площта на основата и височината.
Фрустум
Помислете сегапресечен конус (фиг.4 b). Нека го завършим. Тогава обемът на пресечения конус ще бъде равен на разликата на двата конуса. Нека h е височината на пресечения конус и x е височината на пълния конус. R1 и R2 са радиусите на долната и горната основа.
Ориз. 4 Обемът на конуса.
5. Обем на телата на въртене
Нека е дадено геометрично тяло (фиг.5). Ако начертаете равнина, перпендикулярна на нейната ос, тогава ще получите кръг в сечението. Тогава можем да дадем следната дефиниция:въртящо се тяло е тяло, чието сечение от равнина, перпендикулярна на неговата ос, е окръжност във всяка точка на пресичане на равнината на сечението и оста.
Примери за тела на въртене: топка, конус, цилиндър. Нека намерим формулата за изчисляване на обема на телата на въртене.
Начертайте равнина през оста на тялото. Нека въведем декартова координатна система в тази равнина. Нека вземем оста на тялото като оста х. Равнината пресича тялото по определена линия, която ще бъде функция на f (x), разположена над оста OX.
Нека вземем точка x на оста и начертаем равнина през нея, перпендикулярна на оста X. След това означаваме стойността на обема на тялото вляво от точката x като V (x). Тези. V(x) е функция на x. Нека увеличим аргумента Δх. Тогава разликата V (x+Δx) - V(x) ще бъде обемът на слоя на тялото с дебелина Δx. Тези. слой, перпендикулярен на оста и лежащ между точките x и x + Δx.
Нека М2 = f (x+Δх), а M1 = f(x) са стойностите на функцията в точките x и x+Δх. Тогава обемът на слоя с дебелина Δх ще бъде равен на разликата между обемите V(x+Δх) - V(x) и ще бъде затворен между малък и голям цилиндър с радиуси M1 и M2. Тези.
Ориз. 5 Обем на телата на въртене.
6. Обем на топката
Топката е въртящо се тяло, следователно, за да изчислите обема, можете да приложите формулата за обема на въртящо се тяло.
Нека е дадена топка (фиг.6). Начертайте диаметрална равнина XY. Равнината XY пресича топката с радиус R в окръжност. Кръгът е даден от уравнението:
Ориз. 6 Обемът на топката.
7. Обем на топка и сектор
Сферичният сегмент е част от сфера, отсечена от равнина (фиг. 7).
За да изчислите обема на сферичен сегмент, можете да използвате формулата за обем на въртеливо тяло. нека напишем:
където R е радиусът на топката H е височината на сегмента на топката
Обемът на сферичния сектор
Сега нека изчислим обема на сферичния сектор. Сферичният сектор е тяло, получено от сферичен сегмент и конус с обща основа. Върхът на конуса е в центъра на топката. Ако сферичният сегмент е по-малък от полукълбо, тогава към сферичния сегмент се добавя конус. Ако сегментът е по-голям от полукълбо, тогава конусът се отстранява. Така обемът на сферичен сектор се получава чрез добавяне или изваждане на сферичен сегмент и конус. Тогава пишем:
където R е радиусът на топката H е височината на съответния сегмент на топката
Ориз. 7 Обемът на сферичния сегмент и сектор.
8. Площ на сферата
Нека е даден изпъкнал многостен (фиг. 8). Всеки ръб е много малък. Сумата от площите на всички лица ще се приеме за Sn. Всяко лице представлява основата на пирамидата. Ако построим топка с радиус R вътре в нашия полиедър, тогава височината на всяка пирамида ще бъде радиусът на топката R, а самата топка ще докосва лицата на нашия многостен. Ще построим и топка, която ще докосва върховете на стените на полиедъра, но с радиус R + ɛ. Така получаваме две топки: едната се съдържа в полиедъра, а другата съдържа многостена. След това можете да намерите приблизителната стойност на площтаповърхността на сферата.
Ориз. 8 Площта на сферата.
|
9. Пример 1
Намерете обема на цилиндър, вписан в правилна шестоъгълна призма с всеки ръб, равен на 10 m.
Решение:
Нека е дадена правилна шестоъгълна призма, всички ръбове на която са равни на 10 m (фиг. 9). От това следва, че триъгълникът AOF е равностранен. Използвайки Питагоровата теорема, намираме височината на OK, която е радиусът на вписаната окръжност:
OK 2 = AO 2 - AK 2 = 10 2 - 5 2 = 100 - 25 = 75
ОК = 5м
Сега намерете площта на основата на цилиндъра:
Sos.c \u003d π R 2 = π (5) 2 \u003d 75 π m 2
Следователно обемът на цилиндър с височина AA' = 10 m е:
Vcyl. \u003d Sos.ts AA' \u003d 75 π * 10 \u003d 750 π m 3.
Фиг.9 Задача. Намерете обема на цилиндъра.
Дължината на образуващата на конуса е 13 м. А обиколката на основата е 10 π м. Намерете обема на конуса.
Решение:
Нека е даден конус, чиято образуваща AB е равна на 13 m (фиг. 10). Намерете радиуса на основата от формулата:
Следователно, R = Loc.basic. / 2 π = 10 π / 2 π = 5 m
Използвайки теоремата на Питагор, намираме височината на конуса:
BO 2 \u003d AB 2 - AO 2 \u003d 13 2 - 5 2 \u003d 169 - 25 \u003d 144
Намерете площта на основата:
Съсн. \u003d π R 2 = π * 5 2 \u003d 25 π m 2
Сега намираме обема на конуса по формулата:
Vcon. = BO * Соб. / 3 \u003d 12 * 25 π / 3 \u003d 100 π m 3.
Фиг.10 Задача. Дължината на образуващата на конуса е 13 m.
Площта на аксиалното сечение на пресечен конус е равна на разликата в площите на основите, а радиусите на основите са 6 m и 3 m. Намерете обема на конуса.
Решение:
Нека е даден пресечен конус, чиито радиуси на основите са 6 m и 3 m (фиг. 11). Квадратаксиалното сечение на пресечен конус е равнобедрен трапец. Нека намерим площта на аксиалното сечение по формулата въз основа на условието на проблема:
Соц.сек. = 2 r H + (R - r) H = π R 2 - π r 2
Следователно, H = π (R 2 - r 2 ) / (R + r) = π (6 2 - 3 2 ) / (6 + 3) = 3 π m
Обемът на пресечен конус се намира по формулата:
Vus.con. \u003d π H (R 2 + R r + r 2) / 3 \u003d π 3 π (6 2 + 6 * 3 + 3 2) / 3 \u003d 63 π 2 m 3.
Фиг.11 Задача. Площта на аксиалното сечение на пресечен конус.
Равнина, перпендикулярна на диаметъра на топката, я разделя на части от 3 м и 9 м. На какви части е разделен обемът на топката?
Решение:
Нека е дадена топка, чийто диаметър AB е 12 m (фиг. 12). Равнината, перпендикулярна на диаметъра на топката, я разделя на сегменти AO = 3 m и OB = 9 м. Радиусът на топката е: R = (3 + 9) / 2 = 6 м. Намерете обема на цялата топка по формулата:
Vsh. \u003d 4 π R 3 / 3 = 4 π 6 3 / 3 \u003d 288 π m 3
Сега намираме обема на сферичния сегмент:
Vsh.seg. 1 \u003d π AO 2 (R - AO / 3) = π 3 2 (6 - 3 / 3) \u003d 45 π m 3
Следователно обемът на втората част на топката е равен на:
Vsh.seg. 2 = Vsh. - Вш.сег. 1 \u003d 288 π - 45 π = 243 π m 3
Така равнината разделя обема на топката на две части: 45 π m 3 и 243 π m 3.
Фиг.12 Задача. Равнина, перпендикулярна на диаметъра на сферата.
Радиусът на сферата е 15 м. Каква е площта на частта от нейната повърхност, която се вижда от точка, отдалечена на 25 м от центъра?
Решение:
Нека е дадена топка, чийто радиус на OB е равен на 15 m (фиг. 13). Видимата точка се отстранява от центъра на разстояние AO \u003d 25 м. В правоъгълен триъгълник ABO, според теоремата на Питагор, намираме AB:
AB 2 = AO 2 - OB 2 = 25 2 - 15 2 = 400
Нека начертаем височината BC и от два правоъгълни триъгълникаABC и BOS намират BC:
|
