Свойство на ъгъл на успоредник, математическо повторение

Задача 1. Един от ъглите на успоредника е 65°. Намерете останалите ъгли на успоредника.

∠C = ∠A = 65° като срещуположни ъгли на успоредника.

∠A + ∠B = 180° като ъгли, съседни на едната страна на успоредника.

∠B = 180° - ∠A = 180° - 65° = 115°.

∠D = ∠B = 115° като срещуположни ъгли на успоредника.

Отговор: ∠A = ∠C = 65°; ∠B = ∠D = 115°.

Задача 2. Сборът от два ъгъла на успоредник е 220°. Намерете ъглите на успоредника.

Тъй като успоредникът има 2 равни остри ъгъла и 2 равни тъпи ъгъла, ни е даден сборът от два тъпи ъгъла, т.е. ∠B +∠D = 220°. Тогава ∠B =∠D = 220°: 2 = 110°.

∠A + ∠B = 180° като ъгли, съседни на едната страна на успоредника, така че ∠A = 180° - ∠B = 180° - 110° = 70°. Тогава ∠C =∠A = 70°.

Отговор: ∠A = ∠C = 70°; ∠B = ∠D = 110°.

Задача 3. Един от ъглите на успоредника е 3 пъти по-голям от другия. Намерете ъглите на успоредника.

Нека ∠A =x. Тогава ∠B = 3x. Знаейки, че сумата от ъглите на успоредник, съседни на една от страните му, е равна на 180 °, съставяме уравнение.

x = 180: 4;

Получаваме: ∠A \u003d x = 45 ° и ∠ B = 3x = 3 ∙ 45 ° = 135 °.

Противоположните ъгли на успоредник са равни, т.е

∠A = ∠C = 45°; ∠B = ∠D = 135°.

Отговор: ∠A = ∠C = 45°; ∠B = ∠D = 135°.

Задача 4. Докажете, че ако две страни на четириъгълник са успоредни и равни, то този четириъгълник е успоредник.

Начертайте диагонала BD и разгледайте Δ ADB и Δ CBD.

AD = BC по условие. Страната BD е често срещана. ∠1 = ∠2 като вътрешно напречно лежащо под успоредни (по предположение) прави AD и BC и секуща BD. Следователно Δ ADB = Δ CBD на двете страни и ъгъла между тях (1-ви критерий за равенство на триъгълниците). Равентриъгълници съответните ъгли са равни, така че ∠3 =∠4. И тези ъгли са вътрешни напречно лежащи на правите AB и CD и секущата BD. Това предполага успоредността на правите AB и CD. Така в дадения четириъгълник ABCD противоположните страни са по двойки успоредни, следователно по дефиниция ABCD е успоредник, което трябваше да се докаже.

Задача 5. Двете страни на успоредник се отнасят като 2: 5, а периметърът е 3,5 м. Намерете страните на успоредника.

Периметър на успоредник PABCD= 2∙ (AB + AD).

Нека означим една част с x. тогава AB = 2x, AD = 5x метра. Знаейки, че периметърът на успоредника е 3,5 m, записваме уравнението:

2∙ (2x + 5x) = 3,5;

2∙ 7x = 3,5;

x = 3,5: 14;

Едната част е 0,25 м. Тогава AB = 2∙ 0,25 = 0,5 м; AD = 5∙ 0,25 = 1,25 m.

Периметър на успоредник PABCD= 2∙ (AB + AD) = 2∙ (0,25 + 1,25) = 2∙ 1,75 = 3,5 (m).

Тъй като противоположните страни на успоредника са равни, тогава CD = AB = 0,25 m; BC = AD = 1.25 m.

---