Тема 18
Общите теореми на динамиката и последствията от тях, разгледани по-рано, позволяват да се изучава механичното движение в различни технически проблеми. Въпреки това, в някои случаи прилагането им е свързано с определени трудности, а понякога се предполагат тромави разсъждения.
Методите на аналитичната механика, чиито основи са положени от Лагранж, позволяват да се изучава механичното движение без използване на общи теореми на динамиката и понякога по-ефективно. Нека разгледаме някои от тях, като същевременно позволим малко опростени аргументи и се ограничим до изучаването на механични системи с една степен на свобода. Нека първо представим някои понятия от аналитичната механика.
§ 1. Концепцията за идеални връзки и обобщени координати на механична система.
По правило върху материалните точки, които изграждат дадена механична система, се налагат ограничения, които ограничават свободата на движение на тези точки. В статиката се разглеждат най-характерните видове връзки. В резултат на взаимодействието на материалните точки с техните връзки възникват противодействащи сили.
Връзката се нарича идеална, ако работата на силата на реакция R върху всяко изместване, разрешено от връзката, е равна на нула.
За перфектно свързване dA=
Примери за идеални връзки са: гладка повърхност, гъвкава резба, идеална панта, абсолютно твърда ролка и др.
Когато се изучава движението на изолирани материални точки, тяхното положение в пространството спрямо определен полюс обикновено се определя от радиус-вектора или съответните координати, например декартови X i ,Yi, Z i .
Механичната система е определен набор от взаимосвързани материални точки. За да се опише неговото движение, понякога е препоръчително да се изостави векторният или координатният методописващ движението на всяка от неговите точки, тъй като това може да доведе до сложна и тромава система от уравнения, включително кинематични уравнения на ограниченията.
Следователно, за да се опише движението на механичните системи, е по-удобно да се използват така наречените обобщени координати.
Обобщените координати на механична система са независими величини, които еднозначно определят положението на нейните точки.
Обобщените координати ще бъдат означени: q1,q2.
Ето примери за обобщени координати:
а) При постъпателното движение на твърдо тяло е достатъчно да се зададат три координати на центъра на масата му, за да се знае
координати на всяка друга точка.
б) При въртеливото движение на твърдо тяло
тяло, достатъчно е да зададете ъгъла на завъртане, за да
изчисляване на координатите на отдалечена точка
радиус r i от оста на въртене.
в) Когато твърдо тяло се движи в равнина, обобщените координати могат да бъдат:
q1=Xc(t)
За най-често срещаните задачи
механика като обобщени координати
обикновено назначават линейни или ъглови
количества. Най-малък брой независими
обобщени координати, които могат да бъдат зададени
движението на една механична система се нарича брой степени на свобода.
По този начин едно твърдо тяло, което се движи в пространството, има три степени на свобода, а по време на въртене има една степен на свобода.
Тъй като обобщените координати са функции на времето, времевите производни на обобщените координати се наричат обобщени скорости.
Така че, ако q1=X, тогава е обобщената скорост по координатата q1;
q2=, тогава - обобщената скорост по координатата q2.