ТЕОРЕМА НА ПОАНКАРЕ е
за връщането - един от основните. теореми, характеризиращи поведениетона динамична системас инвариантна мярка. Пример за такава система еХамилтонова система,чиято еволюция се описва от решенияна уравненията на Хамилтон- канонични. координати и импулси;i= 1, . н;H=H(p, q)-функция на Хамилтон;точката обозначава диференциране по отношение на времетоt]. Инвариант (запазен
по време на еволюцията) мярката е обемът
Aвъв фазовото пространствоM,запазено в съответствие стеоремата на Лиувил.Според P. t. P. t. е доказано от А. Поанкаре през 1890 г.
Обща динамика системата се описва с един параметър. чрез група преобразувания на фазовото пространство върху себе си: за точкаxотM=x(t),и = В общия случайMе определено пространство с мярка m, чиято инвариантност означава, че
Например ако - решението на системата от диференциали. ур-ция от самото начало. условие е инвариантната мярка, където е неотрицателно. решениена уравнението на Лиувил
Ако функцията на ХамилтънHне зависи изрично от времето, тя се запазва и траекториите не напускат повърхността на нивотоM c: H(p, q)=cвM.За градH. 0 наM sинвариантната мярка на равнинната повърхност се дава от връзкатаdm=ds/gradH,къдетоds е обемният елемент наM s.
В общия случай P. t. системи с крайна инвариантна мярка започти всички точки при m(A)> 0 траектория се връща къмA:има > 1 това. При определени предположения заM11. т.е. подсилени: траекториите се връщатAбезкраен брой пъти, т.е. те са стабилни по Поасон.
Примери: в Хамилтонова система от уравненияc = y,всички траектории, с изключение на траекториите, лежащи на ниво , са периодични, следователно те се връщат във всяка от своите околности. Преобразуванетоfна тораT2 с координати (mod 2p), определени от релацията
спестява площ. Тук има изброим набор от периодични точки и траектории, които не са периодични, но устойчиви на Поасон, преминават през набора с пълна мярка.
НекаFе всяка непрекъсната функция във фазовото пространствоMдинамично. на система, удовлетворяваща условията на P. t. Тогава за почти всяка точка и всяко произволно малко e > 0 има последователност от стойности, за които, т.е. стойносттаF(x) при движение по траекторията се повтаря с произволна точност. Това твърдение се основава на добре известния парадокс на класиката. статистически механика (парадоксът на повтаряне на Поанкаре-Цермело), обаче, строго погледнато, никоя от функциите, използвани за конструиране на този парадокс (ентропия и т.н.), не е функция във фазовото пространство.
Лит.:Немицки В.В., Степанов В.В., Качествена теория на диференциалните уравнения, 2-ро изд., M.-L., 1949; Арнолд VI, Математически методи на класическата механика, 2-ро издание, М., 1979.L. М. Лерман.
Феноменът на излизане и връщане на точките от областтаAкъм даденото с определен. микроскопична прецизност. състоянието е твърде неправилен процес, за да бъде оценено с едно характерно време, наречено време на връщане на Поанкаре. срвреме на връщане (цикъл на Поанкаре), където е интервалът между измерванията; е инвариантна мярка, при която интегрирането се извършва върху изоенергия. повърхностиH(p, q) -= const.
P. t. не осигурява конструктивна конструкция на самото възвръщане и трябва да се реализира с помощта на някакъв случаен процес. ср времето за връщане е оценено от М. Смолуховски (M. Smoluchowski, 1915) с помощта на случаен процес, симулиращБрауново движение.Той показа, че цикълът на Поанкаре е много по-дълъг от вероятното време за връщане на наблюдаваното макроскопично. състояние до началното равновесно състояние.
П. т. счита за динамичен. системи със строго фикс енергия В статистиката. физика те съответстват на системите, описани от микроканонични. Разпределение на Гибс (вижРазпределения на Гибс).Енергията на тези системи е дадена с точност, която може да се приеме равна на cf.флуктуациина енергията). Броят на състоянията, които са в слоя [определен статистически. теглоW (, V, N),къдетоNе броят на частиците,Vе обемът], е изключително голям. Подобно съображение е възможно за други ансамбли на Гибс.
Реалното време за връщане на системата от неравновесно състояние в статистическо. равновесието може да бъде оценено въз основа нахипотезата на Onsaier,като се приеме, че затихването на големи флуктуации се извършва съгласно законите на термодинамиката на неравновесните процеси. Въпреки че големите флуктуации са много редки, всички последствия от хипотезата на Onsager са добре потвърдени експериментално и правят възможно установяването на връзка междукинетичните коефициентии равновесните флуктуации на потоците (вижтеГрийн-формулите на Кубо).
Лит.:Smolukhovsky M., Молекулярно-теоретични изследвания върху обръщането на термодинамично необратими процеси и на връщанетоаномални състояния, в: Einstein A., Smolukhovsky M., Brownian motion, trans. от немски, М., 1936, с. 273; Кац М., Вероятност и забавни въпроси по физика, прев. от английски, М., 1965.