Теоремите за изоморфизма са

Нека

Теоремите за изоморфизъмв алгебрата са поредица от теореми, свързващи понятията фактор, хомоморфизъм и вложен обект. Твърдението на теоремите е изоморфизъм на някаква двойка групи, пръстени, модули, линейни пространства, алгебри на Ли или други алгебрични структури (в зависимост от областта на приложение). Обикновено има три теореми за изоморфизъм, наречени Първа (същоосновната теорема за хомоморфизъм), Втора и Трета. Въпреки че подобни теореми следват доста лесно от дефиницията на фактора и никой не е особено заслужил тяхното откритие, се смята, че Еми Ньотер е дала най-общите формулировки.

Съдържание

Първа теорема

Нека е групов хомоморфизъм, тогава:

  1. Ядрото φ е нормална подгрупа на G ;
  2. Изображението φ е подгрупа на H ;
  3. Образът φ е изоморфен на фактор групата G / ker φ.

По-специално, ако хомоморфизмът φ е сюрективен (т.е. той е епиморфизъм), тогава групата H е изоморфна на фактор групата G / ker φ.

Втора теорема

Нека G е група, S е подгрупа на G, N е нормална подгрупа на G, тогава:

  1. Продуктът е подгрупа на G ;
  2. Пресечната точка S ∩ N е нормална подгрупа на S ;
  3. Фактор групите и S / ( S ∩ N ) са изоморфни.

Трета теорема

Нека G е група, N и K са нормални подгрупи на G, така че K ⊆ N, тогава:

  1. N/K е нормална подгрупа на G/K;
  2. Фактор групата на фактор групите (G/K)/(N/K) е изоморфна на факторгрупата G/N.

В тази област понятието за нормална подгрупа се заменя с понятието за идеал на пръстен.

Първа теорема

Нека е пръстен хомоморфизъм, тогава:

  1. Ядрото φ е идеал в R ;
  2. Образът φ е подпръстен в S ;
  3. Образът φ е изоморфен на фактор пръстена R / ker φ.

По-специално, ако хомоморфизмът φ е сюрективен (т.е. той е епиморфизъм), тогава пръстенът S е изоморфен на фактор пръстена R / ker φ.

Втора теорема

Нека R е пръстен, S е подпръстен в R, I идеал в R, тогава:

  1. Сумата S + I е подпръстен в R ;
  2. Пресечната точка S ∩ I е идеал в S ;
  3. Фактор пръстени ( S + I ) / I и S / ( S ∩ I ) са изоморфни.

Трета теорема

Нека R е пръстен, A и B са идеали в R, така че B ⊆ A, тогава:

  1. A/B е идеал в R/B;
  2. Частнопръстенът на частнопръстените (R/B)/(A/B) е изоморфен на частнопръстена R/A.

Модули, абелеви групи и линейни пространства

Теоремите за изоморфизъм за абелеви групи и линейни пространства са частен случай на теореми за модули, които ще бъдат формулирани. За линейни пространства повече информация може да бъде намерена в статията „ядро за линейно картографиране“.

Първа теорема

Нека е хомоморфизъм на модули, тогава:

  1. Ядрото φ е подмодул в M ​​;
  2. Изображението φ е подмодул в N ;
  3. Образът φ е изоморфен на частния модул M / ker φ.

Втора теорема

Нека M е модул, S и T са подмодули в M ​​, тогава:

  1. Сумата S + T е подмодул в M ​​;
  2. Пресечната точка S ∩ T е подмодул в M ​​;
  3. Коефициентният модул (S + T) / T е изоморфен на частния модул S / ( S ∩ T ).

Трета теорема

Нека M е модул, S и T са подмодули в M, така че T ⊆ S, тогава:

  1. S / T е подмодул в M / T;
  2. Факторният набор от факторни модули (M/T)/(S/T) е изоморфен на факторния модул M/S.

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Вижте за какво става дума в "Теореми за изоморфизъм".други речници:

Фактор пространство по подпространство — Фактор пространство по подпространство в линейната алгебра е важен специален случай на фактор пространства. Съдържание 1 Определение 2 Факторно картографиране ... Уикипедия

Алгебра (универсална алгебра) — Да не се бърка с универсалната алгебра, клон на математиката, който изучава структури от този вид. Набор от алгебра (универсална алгебра), наречен носител на алгебра, оборудван с набор от алгебрични операции върху, ... ... Wikipedia

ДУАЛНОСТ - 1) D. в алгебричната геометрия, двойственост между различни когомологични пространства в алгебриката. колектори. Кохомология на кохерентни снопове. Нека X е неособено проективно алгебрично пространство. многообразие с размерност n върху алгебрично затворено ... Encyclopedia of Mathematics