WEIL GROUP

WEIL GROUP - 1) Vg на симетриите на кореновата система. В зависимост от конкретното изпълнение на кореновата система се разглеждат и различни коренови системи; ето как VGs на полупроста разделена алгебра на Лие и VGs са симетрични. пространства, В. г. алгебр. групи.

Нека G е свързана афинна алгебра група, дефинирана върху алгебрично затворено поле k. CG на групата G по отношение на тора T⊂G се нарича. факторна група

разглеждана като група от автоморфизми на тора T, индуцирани от конюгации на T с помощта на NG(T). Тук NG(T) е нормализаторът, а ZG(T) е централизаторът на подгрупата T в G. Групата W(T, G) е крайна. Ако T0 е максимален тор, тогава се извиква W(T0G). групата на Вейл W(G) на алгебричната група G. Това определение (с точност до изоморфизъм) не зависи от избора на максималния тор T0. Действието чрез конюгации на групата NG(T0) върху бореловото множество B T0 от подгрупи в G, съдържащи T0, индуцира просто транзитивно действие на W(T0, G) върху B T0. Действието на T върху G чрез конюгации индуцира присъединено действие на T върху алгебрата на Ли на групата G. Ф(T, G) е кореновата система по отношение на T (виж Тегло на представителството). Φ(T, G) е подмножество в групата X(T) от рационални характери на тора T, а Φ(T, G) е инвариантно спрямо действието на W(T, G) върху X(T).

Нека G е редуктивна група, Z(G) 0 свързаната компонента на идентичността на нейния център и T0 максимален тор. векторно пространство

се идентифицира канонично с подпространство във векторно пространство

Множеството Φ(T0, G) (като подмножество на X(T0)ℚ) е редуцирана коренова система в X(T0/Z(G) 0 )ℚ и естественото действие на W(T0, G) върху X(T0)ℚ определя изоморфизъм W(T0, G) с V.G. на кореновата система Φ(T0, G). По този начин,W(T0, G) има всички свойства на VG на редуцирана коренова система, напр. то се генерира от отражения.

Като обобщение на тази ситуация възниква VG на системата Титс (за нейното точно определение вижте системата Титс).

Групата на Вейл W на крайномерна редуктивна алгебра на Лие върху алгебрично затворено поле с характеристика нула се определя като VG на нейната присъединена група. Присъединеното действие W в подалгебрата на Картан ℬ на алгебрата е вярно представяне на W; групата W често се идентифицира с изображението на това представяне, като се разглежда като съответната линейна група в ℬ, генерирана от отражения. Концепцията „Б. G." се появява за първи път в работата на G. Weil [1] за специален случай на разглежданите тук алгебри - за крайномерна полупроста алгебра на Ли над полето от комплексни числа. VG може също да се дефинира за всяка разделена полупроста крайномерна алгебра на Лие като VG на нейната коренова система.

За афинна алгебраика на група G, дефинирана върху алгебрично незатворено поле, относителна V. g. относителна група на Вейл на G.

За VG на симетрично пространство вижте Симетрично пространство. В. г. реално свързана некомпактна полупроста алгебраика. група съвпада с VG на съответното симетрично пространство. За афинни V. g. вижте Кореновата система.

Лит.: [1] Weyl H., „Math. Z., 1925, Bd 23, S. 271-309; 1925, Bd 24, S. 328-95; [2] А. Борел, Линейни алгебрични групи, прев. от английски, М., 1972; [3] N. Jacobson, Алгебри на лъжата, прев. от английски, М.,1964 г.; [4] Н. Бурбаки, Групи на Лие и алгебри, прев. от френски, Москва, 1972 г.; [5] Борел А., Тите Ж., „Математика“, 1967, том 11, № 1, с. 43-111, № 2, стр. 3-31; [6] F. Bruhat, J. Tits, Математика, 1968, том 12, № 5, стр. 19-33; [7] S. Xelgason, Диференциална геометрия и симетрични пространства, прев. от английски, М., 1964.

2) VG на компактна свързана група на Ли G е факторгрупа W = N/T, където N е нормализаторът в G на някакъв максимален тор T на групата G. VG е изоморфна на някаква крайна група от линейни трансформации на алгебрата на Ли t на групата T (изоморфизмът се осъществява чрез присъединеното представяне на N в t) и може да се характеризира от гледна точка на кореновата система Δ на Lie al gebra g от групата G (по отношение на t), а именно: ако α1, . αr е система от прости алгебрични корени, които са линейни форми в реално векторно пространство t, тогава VG се генерира от отражения в хиперравнините αi(x) = 0. Така W е групата на Weyl на системата Δ (като линейна група в t). W просто действа транзитивно върху множеството от всички камери на системата Δ (наречени в този случай камери на Weyl). Трябва да се отбележи, че N не е като цяло полупряк продукт на W и T; всички случаи, когато това е така, са проучени. CG на групата G е изоморфна на CG на съответната комплексна полупроста алгебрична алгебра. на групата Gℂ (вижте Комплексификация на групата на Ли).

  1. Математическа енциклопедия. T. 1 (A - D). Изд. колегия: И. М. Виноградов (главен редактор) [и др.] - М., "Съветска енциклопедия", 1977, 1152 stb. от болен.