ЗА БЕЗКРАЙНИТЕ ГРУПИ СЪС САМОНОРМАЛИЗИРАНА ПОДГРУПА - Съвременни проблеми на науката и образованието

Изследването на групи със зададени свойства за система от подгрупи е едно от основните направления в общата теория на групите.

Групи със самонормализиращи се подгрупи са изследвани от В. П. Шунков и А. И. Созутов [3].

Теорема. Нека G е група, H нейната подгрупа с крайна периодична част, NG(H)=H, a елемент от прост ред p≠2 от H и нормализаторът на всяка нетривиална (a)-инвариантна крайна подгрупа от H се съдържа в H. Тогава всяка крайна разрешима подгрупа K от формата Tλ(a) от G, която съдържа a и не принадлежи на H, има структурата: , където L(K) е нилпотентният радикал на групата K, M е силовска 2-подгрупа на K.

За да докажем теоремата, първо доказваме няколко леми. В края на работата са дадени известни резултати, към които има препратки. Нека въведем нотация, която няма да се променя в цялата работа: – нилпотентен радикал на групата

подгрупа
.

Нека G е група, H, K са нейните подгрупи и нека a е елемент от H, удовлетворяващ условията на теоремата.

Лема 1. Пресечната точка е тривиална.

Доказателство. Нилпотентният радикал L(K) на групата K не се съдържа в подгрупата H, в противен случай получаваме, с оглед на факта, че L(K) е (a)-инвариантна подгрупа на H, по хипотезата на теорема K . Тогава е нилпотентна нормална подгрупа. Противоречие с максималността на L(

самонормализирана
). Цикличността на силовските подгрупи от нилпотентния радикал L() е показана по същия начин, както в лема 8. Тогава нилпотентният радикал L() се разлага на директно произведение на силовските подгрупи от нечетен ред и L() е циклична група. Тъй като L() е нилпотентен радикал на групата, тогава . Коефициент групата е вградена в подгрупа на групата на автоморфизмите на групата L(). И тъй като групата на автоморфизъм на циклична група сама по себе си е циклична, факторгрупата също е циклична. Преминавайки към предобрази, получаваме . Теоремадоказано.

Теорема на Хигман-Томпсън. Всяка крайна група с правилен автоморфизъм от прост ред p е нилпотентна и дължината на нейната горна централна серия е ограничена от число, зависещо само от p [6], [7].

Лема на Подуфалов. Нека е крайна група , където Q е нормална q-подгрупа, x е елемент от ред p, q и p са различни прости числа. Ако група G действа точно върху нетривиална крайна '-група, така че елементът x действа редовно, тогава или G е нилпотентна група, или q=2 [2].

Теорема на Бърнсайд. Нека G е крайна група от вида , където B е нетривиална p-група, L е елементарна абелева q-група от ред q2 и p≠q. Тогава за някакъв елемент a от ред q има пресечна точка [5].

Ако всички силовски подгрупи на крайна група G от порядък g са циклични, тогава G е метациклична група, генерирана от два елемента a и b с определящи отношения: am=bn=1, b-1ab=ar, mn=g, [(r-1), mn]=1, rn≡1(mod m). Обратно, групата, дефинирана от тези дефиниращи отношения, има само циклични силовски подгрупи [4].

1. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основи на теорията на групите. – М.: Наука, 1977.

2. Подуфалов Н.Д. Крайни прости групи без елементи от редове 6 и 10 // Алгебра и логика. - 1975. - Т.14, N1. - С. 79 - 85.

3. Созутов А.И. За съществуването на f-локални подгрупи в група // Алгебра и логика. - 1997. - Т. 36, N5. - С. 573 - 598.

4. Хол М. Теория на групите. - М .: Чуждестранни. Лит., 1962.

5. Черников С.Н. Групи със зададени свойства на системата от подгрупи. – М.: Наука, 1980.

6. Хигман Г. Групи и пръстени, имащи автоморфизми без нетривиални фиксирани точки. J. London Math. соц. - 1957. - N32. - С. 321-334.