Заместващ знак
В даден ред елементите i и j се наричат обратни, ако i>gt; j, но i е първи на този ред.
(5 3 4 1 2) - числото 5 образува 4 инверсии. Общият брой инверсии в ред е 8.
е равно на (-1) a, където a е броят на инверсиите в реда (α1, α2, …, αn)
Дефинирайте заместващ знак
Броят на инверсиите в ред (3 4 5 2 1 8 7 6) е 2+2+2+1+0+2+1=10
тъй като (-1) 10 =1, това заместване е четно.
Заместващият знак може да бъде дефиниран по друг начин. За да направим това, трябва да разширим пермутацията в продукт от независими цикли.
Тогава знакът е (-1) b
Дадена е пермутация от n-та степен и нека s е броят на независимите цикли в нейното разлагане плюс броя на символите, които оставя на място. Разликата n - s се нарича декремент на това заместване. Декрементът е равен на броя на действително преместените символи, намален с броя на независимите цикли, включени в разширението на заместването, и е еквивалентен на b във формула (5).
Забележка.Паритетът на заместването е същият като паритета на декремента на това заместване.
Дефинирайте заместващ знак
чрез разлагане на пермутация в продукт на независими цикли.
Това заместване се разлага на продукт от независими цикли, както следва.
Това е равномерна замяна.
Заместващо умножение
Дефиниция.Продуктът от първото заместване с второто е последователното изпълнение на две замествания от n-та степен, което води до някакво добре дефинирано трето заместване от n-та степен.
така че, ако са дадени пермутации от четвърта степен
Наистина, при заместване A символ 1 става 3, но при B символ 3 става 4, така че при AB символ 1 става 4 и т.н.
Може да се умножавасамо замествания от същата степен. Пермутационното умножение на n-та степен за n ≥ 3 е некомутативно. Наистина, за заместванията A и B, разгледани по-горе, продуктът BA има формата
т.е. пермутацията BA е различна от пермутацията AB. Такива примери могат да бъдат избрани за всички n за n ≥ 3, въпреки че за някои двойки пермутации законът за комутативността понякога може да се проведе.
Умножението на пермутациите е асоциативно, т.е. може да се говори за произведение на всеки краен брой пермутации от n-та степен, взети (поради некомутативност) в определен ред. Наистина, нека са дадени заместванията A, B и C и нека символът i1, 1 ≤ i1 ≤ n, преминава под заместването A в символа i2, i2 под заместването B преминава в символа i3, а последният под заместването C в символа i4. След това, когато заместваме AB, символът i1 отива към i3, когато заместваме BC, символът i2 отива към i4 и следователно, както за (AB)C, така и за A(BC), символът i1 ще отива към символа i4.
Очевидно произведението на всяка пермутация A и пермутацията на идентичността E, както и произведението на E и A, е равно на A:
И накрая, ние наричаме обратната на пермутация A такава пермутация A -1 от същата степен като
Лесно е да се види, че обратното заместване за заместването
получено от А чрез смяна на местата на горния и долния ред.
Намерете пермутация, обратна на дадена
Заместване A -1 , обратното на заместване A ще има формата
Нека го доведем до каноничен вид.
Намерете реда на посочения елемент в групата Sn, n=5
Накрая получихме идентичното заместване E