1.1. Отношения на предпочитанията
За разлика от обичайното разбиране, понятието благо (стока) в микроикономиката има доста широк характер: стоките се отличават не само по техните физически характеристики, но и по времето, когато стават достъпни и по тяхното местоположение.
Предполагаме, че действията на потребителя се основават на неговите предпочитания и в съответствие с тези предпочитания той прави избор между наборите, които са му на разположение в ситуацията, пред която е изправен, от набора от приемливи алтернативи. Наличието на потребителски комплекти може да подлежи на финансови, правни и други ограничения.
Нека първо обсъдим типичните предположения за потребителските предпочитания. Отношението на предпочитанията е пример за това, което се нарича двоично отношение в математиката. Спомнете си, че формално двоичното ОТНОШЕНИЕ I е подмножество на множеството XxX (I с XxX). С други думи, I е набор от подредени двойки (x, y), където x и y са елементи на множеството X. Когато една двойка (x, j) принадлежи на множеството X, се казва, че x е в отношението на I към y, което обикновено се записва като x I y.
Нека сега дефинираме някои свойства на бинарните отношения, които ще използваме по-късно, когато разглеждаме връзката на предпочитанията. Най-често в
Теорията за потребителското поведение разглежда свойствата на пълнотата и преходността.
Връзка ^ се нарича ПЪЛНА, ако за всеки два елемента x и y от множеството X (V x, y e X) е изпълнено или x ^ y, или y ^ x (или и двете).
y, ще кажем, че алтернатива x не е по-лоша от алтернатива y (за даден потребител).
Традиционното предположение в икономическата теория е, че нестриктната връзка на предпочитанията, въз основа на която потребителите поръчват алтернативи, е пълна ипреходно. Тези предположения са тясно свързани с концепцията за рационалност на икономическите агенти. Изглежда, че неразделно свойство на рационалността е последователността на избора и възможността да се направи избор във всяка възможна ситуация. Ясно е, че тези условия в нашите термини приемат формата на свойства за пълнота и транзитивност. (Забележете, че нестриктната връзка на предпочитанията ще бъде пълна, ако за всеки две алтернативи от допустим набор от алтернативи, една от тях не е по-лоша от другата. Нестрогата връзка на предпочитанията ще бъде транзитивна, ако за всеки три алтернативи от множеството допустими алтернативи фактът, че първата не е по-лоша от втората и втората не е по-лоша от третата, предполага, че първата не е по-лоша от третата.)
Има обаче ситуации, в които поведението на потребителя е в противоречие с предположението, че неговите предпочитания са пълни и преходни. Най-често причината за такова нарушение е липсата на транзитивност в наблюдаваните избори на участници.
Ако помолим човек да сравни чаша чай с едно зърно захар и чаша чай с две зърна, почти винаги получаваме отговора на безразличие при избора. Получаваме същия отговор, когато сравняваме чаши с две и три зърна. Нека продължим нашето изследване достатъчно дълго и ще стигнем до абсурдно заключение, ако настояваме за транзитивност. Но нима е напълно безразлично за човека какво да пие – чаша с едно зърно или чаша с килограм захар?! Както не е трудно да се разбере, причината за недоразумението се крие в фундаменталната невъзможност за обективно сравнение на малки стойности на доброто.
Други причини за появата на непреходност може да се нарече фактът, че индивидуалният избор на участниците може да бъде повлиян от мненията на други хора, самите му предпочитания могат да се променят с течение на времето и това далеч не е всичко.
Въз основа на това нестрого отношение на предпочитанията могат да бъдат конструирани две други отношения между алтернативи, които ще бъдат използвани за характеризиране на потребителското поведение:
Строга връзка на предпочитанията > дефинирано както следва: x>gt; y(x, y e X), ако x : y, но не y : x.
Ако за две алтернативи x и y от X, x>gt; y, ще кажем, че алтернатива x е по-добра от алтернатива y.
В случай на пълнота на връзката на нестрого предпочитание, тази дефиниция може да бъде написана в еквивалентна форма:
Тогава нека нестриктната връзка на предпочитанията е пълна
(x > y) ^ (не е вярно, че y> x).
^ Твърдението (x > j) ^ (не е вярно, че y> x) следва директно от определението
строга връзка на предпочитанията.
^ Пълнотата на нестриктната връзка на предпочитанията означава, че
(не е вярно, че y : x) ^ (x : j). По дефиницията на стриктна връзка на предпочитанията, условията (не е вярно, че y : x) и (x : j)
колективно означава (x > y). ¦
Обърнете внимание, че на базата на тази стриктна връзка на предпочитанията е възможно да се конструира нестрога връзка на предпочитанията от следния тип: y > x, ако е невярно, че x > г.
Отношението на безразличие @ се дефинира, както следва: V x, y e X: (x
Ако две алтернативи x и y от X удовлетворяват отношението x @ y, казваме, че алтернативата е еквивалентна на алтернативата y.
Обърнете внимание, че свойствата на пълнота и транзитивност на нестрога връзка на предпочитанията определят свойствата на асиметрия и отрицателна транзитивност на връзка на строги предпочитания, изградена на нейна основа и обратно, което е показано от следните две твърдения.
Строгото отношение на предпочитанията е асиметрично тогава и само ако нестрогото отношение на предпочитанията е асиметричновръзката на предпочитанията е пълна.
^ Асиметрията на връзката на строги предпочитания означава, че за всяка двойка x, yeX от x > y означава, че y > x е неправилно. Така че или x > y е невярно или y > x е неправилно. Следователно, използвайки дефиницията на стриктна връзка на предпочитанията, или x ¦ y, или y ¦ x. И това е пълнотата на връзката на нестриктното предпочитание.
^ Нека сега имаме завършена нестриктна връзка на предпочитанията, т.е. за всяка двойка x, y eX или x ¦ y или y ¦ x. Съгласно Твърдение 1, това е същото като x > y е невярно или y > x е неправилно. Така че от x > y означава, че y > x е неправилно. А това означава асиметрията на стриктното отношение на предпочитанията.
Нека нестриктната връзка на предпочитанията е пълна. Тогава отрицателната транзитивност на отношение на стриктно предпочитание е еквивалентно на транзитивността на отношение на нестриктно предпочитание.
Съгласно твърдение 1 имаме
Очевидно е, че отрицателната транзитивност на стриктно предпочитание във формата
1 (x Y z) A 1 (z Y y) ^ 1 (x Y y) е еквивалентно на транзитивността на връзката на нестрого предпочитание: (x Y Z) A (z Y y) ^ (x Y y).
Забележка: в това твърдение, съгласно твърдение 2, пълнотата на нестриктната връзка на предпочитанията може да бъде заменена от асиметрията на стриктната връзка на предпочитанията.
Твърдения 2 и 3 заедно доказват, че транзитивността и пълнотата на нестриктно отношение на предпочитанията предполагат асиметрията и отрицателната транзитивност на стриктно отношение на предпочитанията и обратно.
Съществуват две традиции за изграждане на теорията за поведението на потребителите, които се различават по начина, по който се описват предпочитанията на индивида. Първият, към който ще се придържаме, разчита на нестриктна връзка на предпочитанията. Втората традиция идва от строготношения на предпочитанията. Обърнете внимание, че тези две традиции водят до едни и същи резултати, ако строгите и нестрогите връзки на предпочитанията са изградени една върху друга по описания по-горе начин.
Ако връзката на строги предпочитания е асиметрична и отрицателно транзитивна, тогава тя
Да предположим, че стриктната връзка на предпочитанията не е транзитивна, т.е. има x, y, zeX, така че x y z, z y y, но x y y не е изпълнено. Чрез асиметрия x y z предполага, че z y x е невярно. Тъй като x y y е невярно и z y x е невярно, тогава чрез отрицателна транзитивност z y y е невярно. Имаме противоречие.
Нека за xkeX (A=1. u) x1 Y x2 Yx3 Y . U xp-i U xp. По индукция и току-що доказаната транзитивност имаме x1 y xn. От ацикличността получаваме, че xn y x1 е невярно.
Нека x Y x. Тъй като Y е ациклично, това означава, че x Y x е грешно. Противоречие.
\ Множество на безразличие (крива на безразличие) 1(l
), съответстващ на точката ^ ^ xx. X е множеството от всички точки, еквивалентни на x: /
Ако едно нестрого отношение на предпочитание е пълно и транзитивно, тогава отношението на еквивалентност
всякакви две множества на безразличие или нямат общи точки, или съвпадат.
Нека за x, y, zeX, x @ z и z @ y. По дефиницията на еквивалентност имаме x ¦ z и z ¦ y, и в допълнение x : z и z : y. Поради транзитивността на връзката на нестриктното предпочитание това предполага x ¦ y и x y. Така че x @ y.
Пълнотата на едно нестриктно отношение на предпочитанията предполага неговата рефлексивност, т.е. x : x V x eX. По дефиниция на еквивалентност това предполага x @ x.
Нека 1(x) и 1(y) са две множества на безразличие и нека имат обща точка z. Тогава по дефиницията на множествата на безразличие, използвайки транзитивност и рефлексивност, имаме x @ y. Използване на транзитивности рефлексивността е лесна
покажете съвпадението 1(x) и 1(y). ¦
Тестове и задачи за самостоятелно решаване
Ако връзката на предпочитанията е пълна и преходна, тогава тя
Ако връзката на предпочитанията е транзитивна, тогава тя също е транзитивна
Ако връзката на предпочитанията е ациклична, тогава тя също е такава
4. Асиметричното отношение на предпочитанията има свойството
Свойството отрицателна транзитивност и асиметрия предполага свойството
Бинарната връзка "А баща Б" няма свойствата
Бинарната връзка "А е сестра на Б" притежава свойството
Бинарната релация „А се явява на изпит Б“ за множеството хора, които в момента са в университета, има свойството
Бинарно отношение I се нарича нерефлексивно if
от факта, че xH, y следва, че ^Xx е невярно;
от факта, че xR, y и ^^z са грешни, следва, че xRz е грешно;
не е вярно, че xYah.
Казва се, че двоично отношение I е асиметрично, ако
от факта, че xH, y следва, че ^Xx е невярно;
от факта, че xR, y и ^^z са грешни, следва, че xRz е грешно;
не е вярно, че xYah.
Бинарното отношение се нарича отрицателно транзитивно, ако
от факта, че xH, y следва, че ^Xx е невярно;
от факта, че xR, y и ^^z са грешни, следва, че xRz е грешно;
не е вярно, че xYah.
Асиметрична и отрицателно транзитивна връзка на предпочитанията е
нерефлексивен (т.е. не е вярно, че xYx);
преходен (т.е. ако x Yy, y Yz, тогава x Yz);
- ацикличен (т.е. ако x1 Yxg Y xs . xn-i Yxn, тогава не е вярно, че xn Yx1).
13. Нека X се състои от u-измерни вектори (с неотрицателни компоненти) и отношението е дадено, както следва: x Y y, ако всички компоненти на вектора x(строго) по-големи от съответните компоненти на вектора y. Характеризирайте съответното нестриктно отношение на предпочитание и отношение на безразличие (x : y, ако не е вярно, че y е x).