2.2. Типични примери

1. Начислена сума (обикновена лихва).

Клиентът направи депозит по разплащателната сметка в банката в размер на 100 хиляди рубли.

търкайте. при проста лихва от 14% годишно. След това след 3, 6 и 9 месеца

той инвестира още 10 хиляди рубли. В края на годината клиентът затвори

проверка. Колко е получил при закриването на сметката?

Решете проблема, като използвате следните правила.

1. Разделяне на сметката на основна и лихвена.

1. През първото тримесечие сумата в капиталовата сметка беше

стойност P = 100. Лихва за първото тримесечие (прод

тримесечие в части от годината е 0,25):

SH R \u003d 0,14-0,25-100 \u003d 3,5.

През второто тримесечие сумата по основната сметка P = 100 +

+ 10 \u003d 110, чийто процент е равен на:

/D/-R=0,14-0,25-110=3,85;

сумата по сметката през третото тримесечие - 120, лихва за

трето тримесечие - 4,2; сумата по основната сметка в рамките на едно тримесечие

това тримесечие - 130, процентът е 4,55. Общата сума за

лихвена сметка (лихва за годината) се определя чрез добавяне

тримесечна лихва и е / = 3,5 + 3,85 +

+ 4,2 + 4,55 = 16,1. Сумата, която клиентът ще получи при затваряне

сметка е равна на 130 + 16,1 = 146,1 хиляди рубли.

2. Сумата на депозита по спестовната сметка към датата на закриване

е равен на натрупаната сума от потока от всички инвестиции:

S=SX + S2 + S3 + S4;

S = 100(1 + 0,14) + 10(1 + 0,75 x 0,14) + 10(1 + 0,5 x 0,14) +

+ 10(1 + 0,25 • 0,14) = 146,1 хиляди рубли.

2. Търговски и актюерски правила.

В условията на предишния проблем ще заменим инвестицията от 10 хиляди рубли.

в края на 6-ия месец за теглене на 20 хиляди рубли. и намери държавата

сметки в края на всяко тримесечие, в зависимост от

банкаправила (търговски или актюерски);

Съгласно търговското правило всички плащания се вземат предвид

в капиталовата сметка и нейните последователни състояния съответстват на

вектор (PO, 90, 100, 100).

Нека намерим последователността от суми по лихвената сметка:

(3,5; 3,5 + 3,85 = 7,35; 7,35 + 0,14 * 0,25 * 90 =

= 10,5; 10,5 + 0,14 х 0,25 х 100 = 14).

Сравнявайки тези последователности, получаваме общата сума

сметки в края на всяко тримесечие:

^=113.5; ^2 = 97,35; ^3 == 110,5; 5 4 = 114.

На практика банките плащат лихви по депозитите, т.н

при теглене на суми първо се намалява лихвената сметка,

и след това основното (актюерско правило). Според тази процедура

плащане от 20 хиляди рубли. направени за сметка на натрупаните за половин година

процента (7,35) и теглене на липсващата сума (20 - 7,35 =

= 12,65) от основната сметка. В резултат на това стигаме до следното

времеви характеристики на състоянията на основните, процент

и пълни сметки (Ph Ii9 SJ) (Таблица 2.1).

Р3 = 107.35 RA = 107.35

/, \u003d 3,5 / 2 \u003d 3, 5 + 3, 8 5 -

/ 4 \u003d 3,407 + 0,035 x

5 4 = 107,35 + 7,16 =

3. Начислена сума (сложна лихва).

Да се създаде резервен фонд, разпределен ежегодно

400 хиляди рубли Върху натрупаните средства се начисляват комплексни средства

лихва в размер на 8%. Необходимо е да се определи общата сума

финансиране за 5 години за следните опции за финансиране

и лихви:

а) разписка в края на тримесечието, тримесечно начисляване на лихва;

б) разписка в края на тримесечието, начисляване на лихва върху

в) постъпления в края на годината с непрекъснато начисляване

г) разписки навсякъдесроковете са непрекъснати

лихвата се начислява непрекъснато.

а) Използваме формула (2.2) за обикновен годишен анюитет,

замяна на годината с тримесечие, а годишната ставка с тримесечна: / = 2%,

n \u003d 20. Стойността на коефициента на натрупване 5 (20.2) \u003d 24.297,

да S = 400 . - ^ = 2 1 = 2429,7 хиляди рубли;

б) в този вариант p = 4, m = 2, n = 5, - = 0,04. Според формулата

е 400 (1+0,04)1 0 -1

S = - '—— = 2425,45 хиляди рубли;

в) еквивалентна на дадена годишна ставка / непрекъсната

5 = ln(l + 0,08) = 0,07696 (e°'0 7 6 9 6=1,08).

Увеличение със сила на растеж от 5 ще даде същия резултат като натрупване

при годишна ставка от 8%. Използвайки формула (2.2),

намерете общата стойност на фонда:

S = 400 • J(5,8) = 400 • 5,8666 = 2346,64 хиляди рубли;

г) за случая (2.8) на постоянен непрекъснат анюитет и непрекъснат

лихвата ще бъде натрупаната сума

S = - - = 2439,33 хиляди рубли

4. Съвременна стойност на наема.

Колко пари трябва да се внесат в банката, за да може

изтеглят ежегодно през следващите 8 години

25 хиляди рубли, след като сметката е изчерпана напълно до края на срока? Решете проблем

за следните опции за изчисляване на лихвата:

а) в края на годината в размер на / = 5%;

б) в края на тримесечието при същия годишен курс;

в) непрекъснато със сила на растеж 5 = 5%.

Във всички случаи се изисква да се намери настоящата стойност на годишната сума

а) прилагаме формулата (2.2): A = Ra (8.5). Стойност a (8,5) =

A \u003d 25000 • 6,46321 \u003d 161580,25 рубли;

б) според условието лихвата се начислява 4 пъти годишно. Вкарване

общата формула за наем p = 1, m = 4, n = 8, ig = 0,05, намираме интересното

ни стойността на съвременната стойност:

А\u003d 2 5 0 0 0 \u003d 2 5 0 0 0 - ^ Mi ^ 0965,75 рубли;

(1 + 0,05/4) 4 -1 0,050945

в) в този случай преминаваме към ефективния лихвен процент / =

= e 8 - 1 и прилагаме обобщаващата характеристика (2.2) просто

годишен анюитет. В резултат на това получаваме формулата за настоящата стойност

за изчисляване на необходимата сума:

A \u003d 25000 - ^ -4kk \u003d 160753,64.

5. Намиране на размера на плащането.

Необходимо е да се намери размерът на равните вноски в края на годината за

следните две ситуации, всяка от които предоставя

начисляване на годишна лихва върху вноските в размер на 8%.

1. Да се създаде до края на петгодишния период фонд в размер на 1 милион рубли.

2. Изплатете до края на петгодишния период текущия дълг, равен на

а) приравнете размера на създадения фонд към натрупаната сума

(2.2) обикновен анюитет. От полученото уравнение намираме:

D S 1000000 lpm**l *

R = = = 170456,4 рубли

Така годишните вноски в размер на 170456,4 рубли.

достатъчни при начисляване на лихвата върху тях за посочените

норма за натрупване на 1 милион рубли;

б) за определяне на годишната погасителна сума за 5 години от текущата

дълг от 1 милион рубли. приравнете го към текущата стойност

наем (2.2), чиито членове погасяват дълга. От получени

D A 1000000 -ylchsls *

R = = = 250456,46 рубли

6. Определяне срока на наема.

Иванов трябва да плати на Петров 40 хиляди рубли. Той предлага

заменете това еднократно плащане с годишни плащания в началото

всяка година, 10 хиляди рубли. всеки. Колко години трябва

изчакайте Петров да погаси изцяло дълга от Иванов,

ако дългът се начислява лихва в размер на 8% годишно?

Проблемът се свежда до определяне на срока на обикновен годишен анюитет.

Ако приемем в (2.2) настоящата стойност A равна на разликата между

дълг D и плащане R, стигаме до следната формула:

Заменяйки първоначалните данни в него, получаваме:

-1p(1 -3000 -0,08/10000)

Нека продължителността на заместващия анюитет е 3 години.

Тогава сегашната му стойност

В същото време текущата стойност на заменяемия анюитет A =

\u003d 30 хил. Разликата следователно е 4229 рубли. Тази сума

платима в началото на първия период на заместващия анюитет

или със съответното увеличение по всяко друго време. Ако

заменяем анюитет, който да бъде удължен за една година, след което за финал

погасяване на дълга Иванов ще трябва да плати в края на 4-та година

Сумата на Петров L* = 4229 • 1,084 = 4229-1,3605 "5753,55 рубли.

7. Намиране на лихвения процент.

Банката предлага на клиента плащане на наем при следните условия:

клиентът депозира 10 хиляди рубли, а банката изплаща в рамките на 5 години

него в края на всяка година за 3 хиляди рубли. Определете добива

Настоящата стойност А на наема, получен от клиента, изчислена

при желания лихвен процент/, съвпада със стойността

първоначалния му капитал. С известни стойности, 4 = 10, R = 3,

n = 5 намираме q(5,/) = -y- = 3,(3). Според таблицата с коефициенти

намаление на годишния анюитет a(5; 15.5) = 3.3128, = ON P2 = 110 - (20 -