§ 3. Ферма прости числа

Има и друг вид прости числа с дълга и интересна история. Те са въведени за първи път от френския юрист Пиер Ферма (1601–1665), който става известен с изключителната си математическа работа. Първите пет прости числа на Ферма са

Съгласно тази последователност общата формула за прости числа на Ферма трябва да бъде

Ферма беше абсолютно сигурен, че всички числа от този вид са прости, въпреки че не изчисляваше други числа освен посочените пет. Това предположение обаче беше отхвърлено в архива на неоправданите математически хипотези, след като Леонхард Ойлер отиде една крачка напред и показа, че следващото число на Ферма

F 5 \u003d 4 294 967 297 \u003d 641 6 700 417

не е просто, както показва горната нотация. Възможно е историята на числата на Ферма да е приключила с това, ако числата на Ферма не са се появили в съвсем различна задача, задачата за конструиране на правилни многоъгълници с помощта на компас и линейка.

Правилен многоъгълник е многоъгълник, чиито върхове лежат на определен кръг на равни разстояния един от друг (фиг. 13). Ако правилният многоъгълник има n върха, тогава го наричаме правилен n-ъгълник.

Ако начертаем n радиуса, свързващи центъра на окръжността с върховете, получаваме n централни ъгли с големина

всеки. Ако е възможно да се конструира ъгъл с тази стойност, тогава този n-ъгълник също може да бъде конструиран.

Древните гърци наистина искали да намерят методи за конструиране на правилни многоъгълници с помощта на компас и линейка. Разбира се, те знаеха как да построят най-простите от тях - равностранен триъгълник и квадрат. С помощта на многократно разполовяване на централния ъгъл те също биха могли да построят правилномногоъгълници с

върхове. Освен това те успяха да построят правилен петоъгълник, а следователно и правилни многоъгълници с

върхове. Получи се и друг вид правилен многоъгълник. Централният ъгъл в правилен 15-ъгълник е

и може да се получи от ъгъл от 72°, съответстващ на правилен петоъгълник, и ъгъл от 120°, съответстващ на правилен триъгълник, чрез удвояване на първия ъгъл и изваждане на втория от него. Следователно можем да построим правилни многоъгълници с 15, 30, 60, 120... страни.

Проблемът остава в това състояние до 1801 г., когато младият немски математик К. Ф. Гаус (1777–1855) публикува работа по теория на числата, наречена Аритметични изследвания. Тя откри нова ера в математиката. Гаус надмина гръцките геометри не само с това, че посочи метода за конструиране на правилен 17-ъгълник с пергел и линийка, но също така отиде много по-далеч. За всички числа n той определи кои n-ъгълници могат да бъдат конструирани по този начин и кои не. Сега описваме резултатите, получени от Гаус.

По-горе отбелязахме, че правилен 2n-ъгълник може да се получи от правилен n-ъгълник чрез разделяне на всеки централен ъгъл наполовина. От друга страна, 2n-gon може да бъде преобразуван в n-gon, като се използва само всеки втори връх. Това показва, че е достатъчно да се търсят правилни многоъгълници, които могат да бъдат построени с пергел и линейка, само сред многоъгълници с нечетен брой върхове. Гаус доказа, че правилен n-ъгълник с нечетен брой върхове може да бъде конструиран с помощта на пергел и линейка тогава и само ако n е просто число на Ферма или продукт на няколко различни прости числа на Ферма.

Какво ни дава това за малки стойности на n?Очевидно 3-ъгълник и 5-ъгълник могат да бъдат конструирани, докато 7-ъгълник не може, тъй като 7 не е просто число на Ферма. Нито може да се конструира 9-ъгълник, тъй като 9 = 3 • 3 е произведението на две равни прости числа на Ферма.

Откриването на Гаус естествено съживи интереса към числата на Ферма (2.3.1). През миналия век беше предприето наистина героично търсене на ръка, без помощта на машини, за нови прости числа на Ферма. В момента тези изчисления се извършват с все по-голяма скорост с помощта на компютри. Резултатите обаче досега са отрицателни. Не е открито нито едно ново просто число на Ферма и сега много математици са склонни да вярват, че те вече не съществуват.

Проблемна система 2.3.