3.6. Идентифициране на оптимуми

Теорема 1.Необходимите условияза x* да бъде точка отЛокален минимум (максимум)на два пъти диференцируема функцияFна отворен интервал (A,B) се изразяват чрез следните отношения:

Тези условия са необходими, но недостатъчни точкатаХ*да бъде локална минимална (максимална) точка.

Определение.Стационарна точкае точка x*, в която

Ако стационарната точка не съответства на локалния оптимум (минимум или максимум), тогава тя еинфлексна точка или седлова точка.

Теорема 2.Нека първите (N-1) производни на функцията са нулеви в точката x* и производната от редNе различна от нула. След това:

1) акоNе странно, тогава x* е инфлексна точка;

2) акоNе четно, тогава x* е локална оптимална точка.

A) ако тази производна е положителна, тогава x* е локална минимална точка;

B) ако тази производна е отрицателна, тогава x* е локална максимална точка.

Забележка.По-горе беше прието, че разглежданата функция е диференцируема или че нейната първа производна съществува и е непрекъсната. Въпреки това, ако функцията не е диференцируема във всички точки от областта на дефиниция, тогава дори необходимото условие за наличие на оптимум, което позволява да се идентифицират стационарни точки, може да не бъде изпълнено в точката на оптимума.

Тази функция е непрекъсната във всички точки на реалната ос, но е недиференцируема заX=2. Функцията достига своя максимум в точкатаX=2, която не е стационарна според горната дефиниция. Това потвърждава факта, чеТеорема 1е необходима,но не и достатъчно условие за оптимума.

Пример 9.Намерете и идентифицирайте оптимуми на функцията

Решение.Намерете първата производна на функцията:

Да намерим неподвижни точки. За да направим това, решаваме уравнението Следователно, получихме единствената неподвижна точкаX=0. Нека намерим втората производна

За да идентифицираме оптималната точка, изчисляваме стойността на втората производна в стационарната точка.