§ 42. Приближено изчисляване на определен интеграл
Нека се изисква да се намери определен интеграл от непрекъсната функция ƒ(x). Ако е възможно да се намери първоизводната F(x) на функцията ƒ(x), тогава интегралът се изчислява с помощта на формулата на Нютон-Лайбниц:
Но намирането на антипроизводната функция понякога е много трудно; освен това, както е известно, не за всяка непрекъсната функция нейната първоизводна се изразява чрез елементарни функции. В тези и други случаи (например функцията y \u003d ƒ (x) е дадена графично или таблично) те прибягват до приблизителни формули, с помощта на които се намира определеният интеграл с всякаква степен на точност.
Помислете за трите най-често срещани формули за приблизително изчисляване на определен интеграл - формулата на правоъгълниците, формулата на трапеца, формулата на параболите (Симпсън), базирани на геометричния смисъл на определен интеграл.
42.1. Формула за правоъгълник
Нека на отсечката [a; b] и ŷ i \u003d ƒ (si) от графиката на функцията y \u003d ƒ (x). Като вземем тази ордината за височина, построяваме правоъгълник с площ h • ŷ i.
Тогава сумата от площите на всичките n правоъгълника дава площта на стъпаловидна фигура, която е приблизителна стойност на желания определен интеграл
Формула (42.1) се нарича формула на средния правоъгълник.
Абсолютната грешка на приблизителното равенство (42.1) се оценява по следната формула:
където M2 е най-голямата стойност на ƒ "(x) на сегмента [a; b],
Обърнете внимание, че за линейна функция (ƒ (x) \u003d kx + b), формула (42.1) дава точния отговор, тъй като в този случай ƒ "(x) \u003d 0.
42.2. Трапецовидна формула
Формулата на трапеца се получава подобно на формулата на правоъгълника: на всеки частичен сегмент криволинейният трапец се заменя с обичайния.
Нека разделим отсечката [a; b] на n равни части от дължината на абсцисата на точките на делене a = x0, x1, x2. b = xn (фиг. 201). Нека y0, y1. yn -
съответните ординати на графиката на функцията. Тогава формулите за изчисление на тези стойности ще приемат формата хi = a+h*i, уi=ƒ(xi), i= 0.1.2. н;
Нека заменим кривата y=ƒ(x) с начупена линия, чиито връзки свързват краищата на ординатите yi и yi+1 (i = 0,1,2...,n). Тогава площта на криволинейния трапец е приблизително равна на сумата от площите на обикновените трапеци с основи уi, yi+1 и височина
Формула (42.2) се нарича формула на трапеца.
Абсолютната грешка Rn на приближението, получено чрез трапецовидната формула, се оценява с помощта на формулата • M2, където Отново, за линейната функция y=kx + b, формула (42.2) е точна.
42.3. Формула на парабола (Симпсън)
Ако заменим графиката на функцията y=ƒ(x) на всеки сегмент [xi-1;xi] от дяла не с сегменти от прави линии, както при методите на трапеци и правоъгълници, а с дъги от параболи, тогава получаваме по-точна формула за приблизителното изчисляване на интеграла
Първо намираме площта S на криволинеен трапец, ограничен отгоре от графиката на параболата y \u003d ax 2 + bx + c, отстрани с прави линии x \u003d -h, x \u003d h и отдолу от сегмента [-h; з].
Изразяваме тази област чрез h, y0, y1, y2. От равенствата за y-ординатите (откриваме, че c=y1,
Замествайки тези стойности c и a в уравнение (42.3), получаваме
Сега получаваме формулата на параболата за изчисляване на интеграла
За това сегментът [a; b] го разделяме на 2n равни части (сегменти) с точки на дължина xi=х0 + ih (i= 0,1,2. 2n). В точките на разделяне a = x0, x1, x2. x2n-2 ,x2n-1, x2n = b изчисляване на стойностите на интегранта ƒ(x): y0, y1, y2. y2n-2, y2n-1,y2n, където yi \u003d ƒ (хi) (виж Фиг. 203).
Заменяме всяка двойка съседни елементарни криволинейни трапеци с основа равна на h с един елементарен параболичен трапец с основа равна на 2h. На отсечката [x0;x2] параболата минава през три точки (x0;y0), (x1;y1), (x2;y2). Използвайки формула (42.4), намираме
Събирайки получените равенства, имаме
Формула (42.5) се нарича формула на парабола (или Симпсън).
Абсолютната грешка на изчислението по формула (42.5) се оценява по отношението
Обърнете внимание, че формула (42.5) дава точната стойност на интеграла във всички случаи, когато ƒ(x) е полином, чиято степен е по-малка или равна на три (тогава f IV = 0).
Пример 42.1. Изчислете чрез разделяне на интеграционния интервал [0; 2] на 4 части.
Решение: Имаме: ƒ(x) = x 3,
а) по формулата на правоъгълниците:
б) по формулата на трапеца:
в) по формулата на параболите:
Точната стойност на интеграла
Абсолютните грешки на съответните формули са както следва: а) 0,125; б) 0,25; в) 0.