5.2. Частични производни на функции на няколко променливи
Увеличаването (намаляването) на функцията показва тенденцията на функцията: функцията се увеличава (намалява), ако стойностите на функцията се увеличават (намаляват) с нарастването на променливата. Количественото измерване на тези промени става чрез изчисляване на нарастванията на абсолютна, относителна, граница.
Ясно е, че ако , тогава функцията на този интервал нараства вX, ако , тогава тя намалява.
Дефиниция.Увеличението на функцията е разликата:
Къде са точките(x1, y1)и(x2, y2)от домейна на функцията.
Дефиниция.Относителното увеличениесе дефинира като увеличението на единица промяна на променлива x или променлива y.
Относителното изменение на променливатаХсе изчислява като отношение:
По променливаY:
Изчислете увеличението на функцията сХпри преминаване от точка(2; 1)към точката(4; 1), т.е. в случая, когато увеличението сХе равно на2:
Така нарастването на функцията е равно на–4, т.е. функциятаXнамалява в интервала на промяна на променливатаX(2, 4).
Относителното увеличение е:
Нарастването на функцията в точка(2, 3) в променливатаУприу=0.5е:
Тоест функцията нараства по отношение на променливатаY.
Относителното увеличение е:
Разгледайте растежа на функцията в променливатаYв точка(2, 4)зау=0.5:
Така може да се види, че стойността на увеличението е различна за различнитеY, въпреки че променливитеXиyса еднакви.
По аналогия с функция на една променлива се дефинира непрекъснатостта на функция на две променливи.
Дефиниция.ФункцияF(X,Y) се наричаНепрекъсната в точка (x, y)аконарастването на функцията Fклони към нула при х0 и у0, т.е., ако е изпълнено условието:
.
За функции на много променливи, както в случая на функция на една променлива, се изследват граничните стойности на относителните увеличения на отделните променливи. И така, според променливатаXсе разглежда следното:
или прих0.
Дефиниция.Ако има граница на връзкатаприx0, тогава тя се наричаЧастична производна от първия ред на функциятаF(X,Y) по отношение на x.
Частичната производна по отношение наX (y)показва граничното нарастване на функцията в дадена точка(x, y)с фиксираноY (x).
Анализът на пределните промени във функциите се използва широко в икономическите изследвания. Например равенствата на пределните приходи и пределните разходи, равенствата
Специфичните пределни полезности за стоките са достатъчни условия за ефективността на решенията и т.н.
ФункциятаU=F(X1, …, xN)може да бъде диференцирана по отношение на всеки от нейните аргументи, като същевременно всички други аргументи се считат за постоянни.
Помислете за друга дефиниция на частична производна.
Дефиниция.Производната на функцияU=F(X1, ..., xN) по отношение на x1, взета при допускането, че всички други аргументиX2, ..., xNса постоянни, се наричаЧастична производна наUпоX1И се обозначава сИли.
Частичните производни на функциятаUпо отношение на всеки от другите й аргументи се дефинират и обозначават по подобен начин.
Частни производни на функция на много променливи се намират по известните правила за диференциране на функция на една независима променлива.
Пример 37.Намиранечастни производни на функция
Решение.РазглеждайкиZкато функция само на един аргументX, намираме
По подобен начин, разглеждайкиZкато функция само наY, получаваме
Решение.Имайки предвид константитеX2ИX3, разгледайте функциятаUкато функция на една променливаX1:
По подобен начин намираме производни по отношение наX2и по отношение наX3:
Пример 39.Намерете частните производни на функция